시간 내에 매트릭스 제품 검증을 수행 할 수있는 가장 일반적인 구조는 무엇입니까 ?

1979 년 Freivalds 는 임의의 필드에서 매트릭스 제품의 검증이 무작위 시간 내에 수행 될 수 있음을 보여주었습니다 . 보다 공식적으로, 필드 F로부터의 엔트리를 갖는 3 개의 행렬 A, B 및 C가 주어지면, AB = C가 랜덤 화 된 O ( n 2 ) 시간 알고리즘을 갖는지 여부를 점검하는 문제가있다 .$O(n^2)$$O(n^2)$

행렬 곱셈에 대해 가장 빠른 알려진 알고리즘이 이보다 느리기 때문에 흥미 롭기 때문에 AB = C가 C를 계산하는 것보다 빠른지 확인하십시오.

매트릭스 제품 검증이 여전히 시간 (랜덤 화) 알고리즘을 갖는 가장 일반적인 대수 구조가 무엇인지 알고 싶습니다 . 원래 알고리즘은 모든 필드에서 작동하므로 모든 필수 도메인에서도 작동합니다.$O(n^2)$

이 질문에 대한 가장 좋은 대답은 Path, Matrix 및 Triangle Problems 사이의 Subcubic Equivalencess 에서 "링을 통한 매트릭스 제품 검증은 임의 시간 [BK95] 으로 수행 할 수 있습니다 "라고했습니다. ([BK95] : M. Blum 및 S. Kannan. 작업을 확인하는 프로그램 설계. J. ACM, 42 (1) : 269–291, 1995.)$O(n^2)$

첫째, 고리 가이 문제가 무작위 알고리즘을 갖는 가장 일반적인 구조 입니까? 둘째, [BK95]의 결과가 모든 링에 대해 O ( n 2 ) 시간 알고리즘을 어떻게 나타내는 지 알 수 없었습니다 . 누군가 그것이 어떻게 작동하는지 설명 할 수 있습니까?$O(n^2)$$O(n^2)$

다음은 링에서 작동하는 이유에 대한 간단한 설명입니다. 감안 행렬 , B , C는 우리가 검증 B = C를 랜덤 비트 벡터를 선택하여 V를 체크 한 다음, 만일 B의 V = C의 브이 . A B = C 인 경우 명확하게 전달됩니다 .$A$$B$$C$$A B = C$$v$$ABv = Cv$$AB = C$

이고 A B v = C v 라고 가정하십시오 . D = A B − C라고 하자 . D 는 D v = 0 인 0 이 아닌 행렬입니다 . 이것이 일어날 확률은 얼마입니까? 하자 D는 [ 내가 ' , J ' ] 비제 엔트리 수. 가정에 의해, Σ J D [ I ' , J ] V [ J ] = $AB \neq C$$ABv = Cv$$D = AB - C$$D$$Dv = 0$$D[i',j']$$\sum_{j} D[i',j] v[j] = 0$. 확률 , v [ j ' ] = 1 이므로$1/2$$v[j'] = 1$

.$D[i',j'] + \sum_{j\neq j'} D[i',j] v[j] = 0$

또한 그 연산에 의거 한 환 첨가제 기 때문에 고유 인버스가 , 즉, - D [ I ' , J ' ] . 이제, 나쁜 경우의 확률 - D [ I ' , J ' ] = Σ J ≠ J ' D [ 전 ' , J ] V [ j는 ] 최대 인 1 /$D[i',j']$$-D[i',j']$$-D[i',j'] = \sum_{j\neq j'} D[i',j] v[j]$$1/2$. (이 참조하는 한 가지 방법은 "연기 결정의 원칙"입니다 : 위해 동일한에 대한 합계 , 적어도 하나의 다른 D [ I ' , j는 ] 제로해야합니다 그래서를 고려한다. v [ j ]는 0이 아닌 다른 항목에 해당합니다. 이들 중 하나를 제외한 모든 v [ j ]를 최적으로 설정 하더라도 마지막 항목이 0 또는 1 일 가능성은 여전히 ​​같습니다$-D[i',j']$$D[i',j]$$v[j]$$v[j]$$0$$1$하지만, 여전히 단지 최종 합을 만들 수있는 이들 값 중 하나가 동일 ). 따라서 확률 적어도 가진 1 / 4 , 우리는 성공적으로 찾아 D의 V ≠ 0 때, D가 제로이다. (참고 v [ j ] 및 v [ j ' ] 는 j ≠ j '에 대해 독립적으로 선택됩니다 .)$-D[i',j']$$1/4$$Dv \neq 0$$D$$v[j]$$v[j']$$j \neq j'$

보시다시피, 위의 주장은 빼기에 달려 있습니다. 따라서 임의의 정류 반 링에서는 작동하지 않습니다 (예 :). 아마도 대수 구조의 곱셈 속성을 완화하고 결과를 얻을 수 있습니까?