그래프의 최대 불균형?

를 노드 및 모서리 가있는 연결된 그래프 라고 합시다 . 하자 그래프 (정수) 중량 나타내고 함께 그래프의 총 중량. 노드 당 평균 가중치는 입니다. 하자 나타낸다 노드의 편차 평균에서. 우리는불균형 노드의 . $G$ $G = (V,E)$ $V = 1 \dots n$ $E$ $w_i$ $G$ $\sum_i w_i = m$ $\bar w = m/n$ $e_i = w_i - \bar w$ $i$ $|e_i|$ $i$

인접한 두 노드 사이의 가중치가 최대 , 즉 다를 수 있다고 가정하십시오 $1$

w_{i} - w_{j} \leq 1 \forall (i, j) \in E .

$w_i - w_j \le 1\; \forall (i,j) \in E.$

질문 : 측면에서 네트워크가 가질 수있는 가장 큰 가능한 불균형, 무엇 과 ? 더 정확하게 벡터 . 나는 또는 관한 결과에 똑같이 입니다. $n$ $m$ $\vec{e} = (e_1, \dots, e_n)$ $||\vec{e}||_1$ $||\vec{e}||_2$

들면 그래프 직경면에서 결합 간단한 발견 될 수있다 : 모든 때문에 제로로 합산되어야 큰 양수가 있으면 어딘가에 음의 존재해야 . 따라서 그들의 차이점적어도그러나이 차이는 노드 와 사이의 최단 거리 일 수 있으며, 이는 최대 그래프 직경 일 수 있습니다. $||\vec{e}||_\infty$ $e_i$ $e_i$ $e_j$ $|e_i - e_j|$ $|e_i|$ $i$ $j$

또는 노름에 대해 더 강한 경계에 관심이 있습니다. 그래프의 연결성을 반영하기 위해 스펙트럼 그래프 이론이 포함되어야한다고 가정합니다. 나는 그것을 최대 흐름 문제로 표현하려고 노력했지만 아무 소용이 없었다. $1$ $2$

편집 : 자세한 설명. 나는 총 불균형을보다 정확하게 반영하기 때문에 또는 노름에 관심이 있습니다. 사소한 관계는 및 . 그러나 그래프의 연결성과 인접 노드 간의 부하 차이에 대한 제약으로 인해 및 노름이 훨씬 작아야합니다. $1$ $2$ $||\vec{e}||_1 \leq n|||\vec{e}||_\infty$ $||\vec{e}||_2 \leq \sqrt{n}||\vec{e}||_\infty$ $1$ $2$

예 : 차원 d의 하이퍼 큐브 ( . 직경은 입니다. 최대 불균형은 최대 입니다. 이것은 -norm 의 상한으로 제안됩니다 . 지금까지 이것이 실제로 얻은 상황을 구성 할 수 없었습니다. 할 수있는 최선의 방법은 줄을 따라 무언가를 만드는 것입니다. 하이퍼 큐브와 노드에 불균형 , , , 등이 있습니다. 따라서 여기서 의 계수로 경계가 해제됩니다. $n = 2^d$ $d = \log_2(n)$ $d$ $1$ $nd = n\log_2(n)$ $||\vec{e}||_1 = n/2$ $0$ $1$ $0$ $-1$ $\log(n)$ , 나는 (무증상) 단단한 경계를 찾고 있기 때문에 이미 너무 많이 고려합니다.

graph-theory co.combinatorics spectral-graph-theory

— 라거 바에르
소스

흥미로운 질문입니다. 특정 응용 프로그램이 있습니까?

— Suresh Venkat

@ András Salamon : 편집 해 주셔서 감사합니다. @Suresh Venkat : 가중치가 숙련 된 부하를 최소화하려는 균일 한 크기의 에이전트 수를 나타냅니다. 경우 에서 로 이동하려고합니다 . 아무도 움직이고 싶지 않다면 우리는 이것을 내쉬 평형이라고 부릅니다. 질문 : 내쉬 평형에서 가질 수있는 가장 큰 총 불균형은 무엇입니까?

i

$i$

j

$j$

w_{i} > w_{i}

$w_i > w_i$

— Lagerbaer

간단한 지름 경계가 너무 느슨한 그래프의 예가 있습니까?

— 오전

글쎄, 나는 사용하여 다른 두 규범을 사소하게 묶을 수있다 . "총"불균형을보다 정확하게 포착하기 때문에 또는 노름에 관심이 있습니다. 내 질문에 예를 추가했습니다.

| | \vec{e} | |_{1} \leq n | | \vec{e} | |_{\infty}

$||\vec{e}||_1 \leq n||\vec{e}||_\infty$

1

$1$

2

$2$

— Lagerbaer

하이퍼 큐브의 경우, 정점의 해밍 무게로 무게를 측정하면 어떻게됩니까? 내가 좋아하는 뭔가를 얻을 에 대한 , 그리고 내가 생각 순서 될 것 .

\sqrt{d (n - 2)} / 2

$\sqrt{d(n - 2)}/2$

l_{2}

$l_2$

l_{1}

$l_1$

n d

$nd$

— Artem Kaznatcheev

답변:

이후 직경에 의해 제한된다 는 규범 소소 의해 제한 될 예정 마찬가지로, 대 규범에 의한 경우를 제외하고 (실제로 규범에 의해 제한되는 ). $|e_i|$ $d$ $\ell_1$ $nd$ $\ell_2$ $\sqrt{n}d$ $\ell_p$ $n^{1/p}d$

경우 의외로 쉽게 분석하는 것으로 밝혀졌습니다. $\ell_1$

경로를 보려면 이 이므로 쉽게 알 수 있으므로 보다 더 나은 방법은 없습니다 . $\|\vec e\|_1$ $O(n^2)$ $O(nd)$

완전한 ary 트리의 경우, 루트에서 반으로 나누고 으로 설정하면 한 쪽은 오름차순이고 나뭇잎은 , 다시 생성합니다. $k$ $w_{\text{root}} = 0$ $|e_i| = |w_i| = \log_k n$ $O(n\log_k n) = O(nd)$

비틀기의 경우 가중치를 모두 어떻게 분배하는지는 중요하지 않습니다. 가중치는 모두 서로 이내이므로 다시 생성됩니다. $1$ $O(n) = O(nd)$

당신은 우리가 여기에 대해 얘기하는 함수임을 깨달을 때 , 그리고 우리가 가지고있는 그 일반적으로 범위에 걸쳐 가중치 임의로 균등하게 분배 할 수있는 한, 경계는 입니다. $e : \mathbb{Z} \to [-d/2,d/2] \subset \mathbb{R}$ $\ell_1$ $e_i \in [-d/2,d/2]$ $O(nd)$

이것을 바꾸는 유일한 방법은 대중과 게임을하는 것입니다. 예를 들어, 길이가 같은 두 개의 경로가 튀어 나와있는 거대 클리크와 같이 반드시 균형이 잡힌 지점에 여러 개의 거대 클리크가있는 경우 의 경계에만 의존 할 수 있습니다 . $O(d^2)$

이것은 어느 정도 확장기에도 해당 될 수 있지만 확실하지 않습니다. 정규 그래프에서 을 설정 한 다음 모든 홉에서 값을 증가 시키는 경우를 상상할 수 있습니다. 평균이 가장 많은 질량을 가질 가능성이있는 것 같지만, 그것이 한계에 영향을 미칠만큼 충분한 지 모르겠습니다. $w_1 = 0$

에 대해 비슷하게 추론 할 수 있다고 생각합니다 . $\ell_2$

편집하다:

의견에서 우리 는 문제의 제약과 일부 기본 스펙트럼 그래프 이론을 사용하여 의 (느슨한) 경계를 알아 냈습니다 . $\ell_2$ $O(|E|/\lambda_2(L))$

— 조세핀 몰러
소스

나는 당신의 대답을 좋아합니다. 그러나, 나는 " 범위에 걸쳐 임의의 가중치를 고르게 분배 할 수 있는 한"에 문제가 있습니다 . 지름 바운드로 인해 가중치 어딘가에 배치 할 수있는 상황을 상상할 수는 없지만 그래프의 구조는이 큰 양의 가중치를 보상 할 수없는 것입니까? 반면, 그래서 과정이 있다 이 상한, 엄격한 경계를 얻을 수 있을까요? 결국 두 번째로 작은 라플라시안 고유 값 또는 두 번째로 큰 인접 고유 값을 사용합니까 (연결 정보를 인코딩 할 때)?

e_{i} = d / 2

$e_i = d/2$

O (n d)

$\mathcal{O}(nd)$

— Lagerbaer

글쎄 , 당신은 배치하지 않고 배치 합니다. 따라서 가 치우친 경우 평균의 반대편 또는이를 반대하는 다른 큰 무게를 보상하는 많은 작은 무게가 있어야합니다. 보다 작은 범위를 가질 수있는 유일한 방법은 어떻게 든 구조를 의지하는 것입니다. 그리고 내가 말했듯이, 이것이 확장기의 의미가 무엇인지 잘 모르겠습니다. 나는 당신이 내 대답에 제시 한 사례 때문에, 당신은 단순히 컨덕턴스에 기초하여 그것을 할 수 있다고 생각하지 않습니다.

e_{i}

$e_i$

w_{i}

$w_i$

e_{i}

$e_i$

O (n d)

$O(nd)$

— Josephine Moeller

다른 예를 들어 보겠습니다. 두 클리크와 덤벨 그래프는 매우 낮은 전도도를 갖지만, 그 불균형 (2)에 의해 묶여있다

— 조세핀 묄러

구조와 관련된 경계는 내가 완전히 만족할만한 것입니다. 이것이 연결 속성과 관련하여 고유 값을 언급 한 이유입니다. 예를 들어, 그래프의 라플라시안 행렬의 두 번째로 작은 고유 벡터와 관련하여 직경, 평균 경로, 등가 계수 등의 범위가있다.

— Lagerbaer

다른 예를 지금 읽으십시오. 등 시적 수치는 약 이므로 이러한 그래프는 초소형 라플라시안 고유 값도 매우 작을 것으로 예상 됩니다.

2 / n

$2/n$

— Lagerbaer

연결된 그래프의 경우 불균형은 그래프의 직경에 의해 상한이됩니다. 불균형을 구속하기 위해 각 를 로 다시 쓸 수 있습니다. 여기서 는 에서 까지의 최단 경로입니다 . 정의 . 우리는 쓸 수 있습니다 $|w_i - 1/n\sum_k w_k|$ $w_k$ $w_k - v_1 + v_1 - v_2 + v_2 - ... - v_k + v_k - w_i + w_i$ $w_k, v_1,...,v_k, w_i$ $w_i$ $w_k$ $w_{ki} = w_k - v_1 + v_1 - v_2 + v_2 - ... - v_k + v_k - w_i$

| w_{i} - 1 / n \sum_{k} w_{k} | = | w_{i} - 1 / n \sum_{k} (w_{k i} + w_{i}) | = | \sum_{k \neq i} \frac{w_{k i}}{n} |

$|w_i - 1/n\sum_k w_k| = |w_i - 1/n\sum_k (w_{ki} + w_i)| = |\sum_{k\neq i} \frac{w_{ki}}{n}|$

각 는 각 에 대해 가정하여 에서 까지의 최단 경로 길이에 상한이 있습니다 . 따라서 우리는 사소한 경계를 . $w_{ki}$ $i$ $k$ $w_i - w_j \leq 1$ $i,j\in E$

| w_{i} - 1 / n \sum_{k} w_{k} | \leq \frac{(n - 1)}{n} D

$|w_i - 1/n\sum_k w_k| \leq \frac{(n-1)}{n} D$

이것은 실제로 최적에서 그리 멀지 않을 수 있습니다. 각 레벨의 노드가 이전 레벨의 가중치보다 하나 높은 가중치 를 갖는 완전한 ary 트리를 생각하고 있습니다. 그래프의 큰 부분이 가장 높은 가중치 갖습니다 . 따라서 평균은 맨 위로 기울어 져야합니다. 마찬가지로 및 커지면, I 기대 점점 더 가까이로 가져 불균형은 점점 더 가까이에 가야 수단 . $k$ $D+1$ $k$ $n$ $m$ $D+1$ $D$

— 니콜라스 루치
소스

내가 여기에서 스케치 한 구성을 말할 수있는 한, 원하는대로 가까운 불균형을 달성하기 위해 엄격하게 만들 수 있습니다 . 그러나 질문에 꼭짓점이 인접하지 않은 경우 어떻게되는지 지정하지 않기 때문에 더 쉬운 구성은 가중치가 정점 과 가중치가 다른 모든 정점이 완전히 분리 된 그래프입니다 . 이것은 평균 무게 을 이는 또한 최대 불균형입니다. 이것은 충분히 큰 을 선택함으로써 임의로 에 근접하게 명확하게 만들어 질 수 있고 , 는 원하는만큼 커질 수있다.

D < \infty

$D<\infty$

0

$0$

0

$0$

k

$k$

k (n - 1) / n

$k(n-1)/n$

k

$k$

n

$n$

k

$k$

— András Salamon

@ András Salamon : 좋은 지적입니다. 위의 대답은 주어진 그래프 가 연결 되었다고 가정합니다 . 명확하게하기 위해 편집하겠습니다.

G

$G$

— Nicholas Ruozzi

이것이 내가 생각했던 것이므로 질문에 "연결된"제약을 추가했습니다. 여기에 대한 답변은 입니다. 또한 "최악의"사례를 요청할 때 그래프가 고정 될 것이라는 점을 염두에두고 특정 그래프에 대한 최악의 사례를 찾으려고 노력했습니다.

| | \vec{e} | |_{\infty}

$||\vec{e}||_\infty$

— Lagerbaer