평면 거리 보존 기의 존재?

G를 n- 노드 무 방향 그래프로하고 T를 터미널 이라고하는 V (G)의 노드 서브 세트라고 합니다. (G, T) 의 거리 보존제 는 특성을 만족시키는 그래프 H이다.

모든 노드 u, v에서 T. (H는 반드시 G의 하위 그래프는 아닙니다.)

예를 들어, G는 다음 그래프 (a)이고 T는 외부면의 노드입니다. 그런 다음 그래프 (b)는 (G, T)의 거리 보존 기입니다.

다양한 파라미터를 갖는 거리 보존 장치가 존재하는 것으로 알려져있다. 나는 특히 다음과 같은 속성을 가진 것에 관심이 있습니다.

1. G는 평평하고 비가 중입니다 (즉, G의 모든 모서리에는 1이 있습니다).
2. T의 크기는 이며$O(n^{0.5})$
3. H는 크기 (노드 및 모서리 수) 갖습니다 . 우리가있는 경우 (그것은 좋은 일 것입니다 O를 ( $o(n)$))$O(\frac{n}{\log\log n})$

이러한 거리 보존 장치가 있습니까?

위의 속성을 충족시킬 수 없으면 어떤 종류의 휴식도 환영합니다.

참고 문헌 :

• 스파 스 소스 및 쌍 거리 디버거, Don Coppersmith 및 Michael Elkin, SIDMA, 2006.
• Sparse Distance Preservers 및 첨가제 스패너 , Béla Bollobás, Don Coppersmith 및 Michael Elkin, SIDMA, 2005.
• Sublinear distance errors가있는 스패너 및 에뮬레이터 , Mikkel Thorup 및 Uri Zwick, SODA, 2006.
• 첨가제 스패너, 에뮬레이터 등의 하위 경계 , David P. Woodruff, FOCS, 2006.

거리 보존 기는 에뮬레이터 라고도합니다 . spanner 라는 용어를 검색하여 인터넷에서 많은 관련 작업을 찾을 수 있습니다 .이 경우 H는 G의 하위 그래프 여야합니다.

몇 년 후, OP가 마침내 자신의 질문에 대답 한 것 같습니다 : Hsien-Chih Chang, Paweł Gawrychowski, Shay Mozes 및 Oren Weimann의 평면 그래프 에 대한 근거리 최적 거리 에뮬레이터 가 방금 게시되었습니다.

$\widetilde{O}(\min\{t^2, \sqrt{tn}\})$$|T| =: t$$\widetilde{O}(n^{3/4})$$\widetilde{O}(n)$

(덜 공식적인 메모 에서이 결과는 정말 놀랍습니다. 축하합니다!)

클라인의 평면 서브셋 스패너를보고 1 + 엡실론 계수까지의 거리를 유지할 수 있습니다.

TSP를 하위 집합으로 적용하는 평면 그래프 용 하위 집합 스패너 http://doi.acm.org/10.1145/1132516.1132620