효율적인 그래프 알고리즘을 설계 할 때 가장 중요한 희소성 개념은 무엇입니까?

12

"스파 스 그래프"라는 여러 가지 경쟁 개념이 있습니다. 예를 들어 표면 매립형 그래프는 드문 것으로 간주 될 수 있습니다. 또는 경계 밀도가 제한된 그래프. 또는 둘레가 큰 그래프. 확장이 큰 그래프. 경계가있는 그래프입니다. (랜덤 그래프의 서브 필드 내에서도 희소라고 할 수있는 것은 약간 모호합니다.) Et cetera.

효율적인 그래프 알고리즘의 설계에 "스파 스 그래프"라는 개념이 가장 큰 영향을 미치는 이유는 무엇입니까? 마찬가지로, "밀도 그래프"의 개념은 무엇입니까? (NB : Karpinski는 고밀도 그래프의 하나의 표준 모델에 대한 근사 결과에 대해 많은 노력을 기울였습니다.)

나는 J. Nesetril이 자신의 프로그램 (P. Ossona de Mendez와 함께)에 대해 통일 된 (점근 적) 틀 안에서 그래프로 희소성을 측정하는 프로그램에 대한 이야기를 보았습니다. 내 질문-예, 아마도 주관적이며 다른 캠프를 기대합니다-알고리즘에서 희소성을 사용하는 것에 대한 다면적 관점을 취하고 (문제에 대한 내 자신의 이해에 차이가 있음) 욕구에 의해 동기가 부여됩니다.

— RJK
소스

완전한 그래프도 희박하다고 생각하십니까? 완전한 그래프는 큰 확장과 한계 cliquewidth를 갖습니다.

— 오카모토 요시오

@Yoshio Okamoto : 좋은 점-트리 폭이 더 나은 선택이라고 생각합니다 ...

— RJK

6

당신이 언급 한 J. Nesetril과 P. Ossona de Mendez의 프로그램은 이제 책 입니다.

— vb le

16

합리적인 표준에 따라 n × n × n 3 차원 그리드 그래프는 희소 한 것으로 간주되어야하며 표면 임베딩 또는 마이너와 관련된 대부분의 후보 정의를 배제해야한다고 생각합니다. 그러나 하위 선형 트리 폭은 여전히 가능합니다.

내가 가장 좋아하는 희소성 척도는 퇴행성 입니다. 그래프의 축 퇴성 (degeneracy)은 그래프의 정점의 모든 선형 순서에 대해 순서에서 각 정점을 이전 정점에서 다음 정점으로 향하게함으로써 형성된 그래프의 지시 된 비순환 방향에서 최대치의 최소값입니다. 마찬가지로 모든 하위 그래프에서 하위 그래프의 최소 정도의 최대 값입니다. 예를 들어, 평면 그래프의 하위 그래프는 최대 5의 정점을 갖기 때문에 평면 그래프는 퇴화 5를 갖습니다. 축퇴는 선형 시간으로 계산하기 쉽고 정의에서 나오는 선형 순서 는 알고리즘에 유용합니다 .

퇴행성은 수차, 두께 및 하위 그래프의 최대 평균 정도를 포함한 다른 표준 측정의 일정한 요소 내에 있지만, 사용하기가 더 어렵다고 생각합니다.

— 데이비드 엡스타인
소스

이것은 꽤 좋은 답변입니다. 희소 그래프에 대해 생각할 때 그리드와 같은 단순한 구조가 종종 장난을 일으킬 수있는 방법을 강조합니다. (그리드 미성년자가 Robertson-Seymour 이론에 얼마나 중요한지를 감안하면 그리 놀라운 일이 아니라고 생각합니다.) 트리 폭이 동적 프로그래밍에 대한 것이므로 퇴행성이 욕심 알고리즘에 있다고 말하는 것이 공평합니까? 또는 경로 순서와 같이 양호한 순서를 의미하는 희소성 측정법에 대해 더 많이 말할 수 있습니까?

— RJK

@ RJK :이 논쟁을 극단적 인 3 규칙 평면 그리드 (육각 그리드 / 벽 그래프)에 가져 오기 위해 나무 너비는 제한이 없지만 얻을 수있는만큼 희소합니다.

— András Salamon

@Andras : 물론, 드물지 않은 작은 나무 너비를 가진 그래프는 어떻습니까? 이 (단방향) 의미에서 트리 폭은 희소성 측정 기준이라고 생각합니다.

— RJK

k

$k$

n

$n$

k

$k$

Ω (\log n)

$\Omega(\log n)$

Θ (\log n / \log \log n)

$\Theta(\log n/\log \log n)$

8

희소성에 대한 많은 "좋은"개념이있는 것처럼 보이지만, 모델 이론적 풍미를 갖는 희소성에 대한 구조적 개념에 대한 계층 구조가 있습니다. 이것이 효율적인 그래프 알고리즘에 큰 영향을 미쳤다고 생각합니다.

$k$ $K_{k+2}$

2010 년 11 월 Anuj Dawar의 강의 노트는 제외 된 미성년자와 비교할 수없는 지역적으로 제한된 나무 폭에 대해서도 설명합니다. 경계도는 희소 그래프를 명확하게 정의하며 이러한 그래프는 로컬 트리 폭에 제한이 있지만 제외 된 마이너 세트로 정의 할 수는 없습니다.

경계도의 영향은 분명합니다. 예를 들어 경계도 그래프에 대한 그래프 동 형사상에 대한 Luks의 알고리즘과 같이 어려운 문제를 다루기 쉬운 것으로 표시되는 첫 번째 제한 사항 중 하나입니다. 미성년자를 제외시키는 것의 영향은 또한 적어도 나무 폭의 경계 (수레 쉬가 지적한 것처럼)에서 분명하다.

작은 일반을 로컬에서 제외한다는 개념은 로컬로 제한된 트리 폭과 제외 된 마이너를 모두 나타내므로 계층 구조에서 "가장 일반적인"클래스를 형성합니다. 그러나 실제 알고리즘에서이 속성을 사용하는 방법은 아직 명확하지 않습니다. 미성년자를 배제한 "참을 수없는"경우조차도 실질적인 알고리즘이 반드시 좋은 것은 아닙니다. 모델-이론적 알고리즘에는 큰 상수가 많이 있습니다. 이 클래스 중 일부가 장기적으로 실질적으로 효율적인 알고리즘을 갖기를 바랍니다.

마이너 제외 그래프에 쉬운 것이 내 대답을 참조하십시오 . 추가 관련 의견.

— 안드라 살 라몬
소스

6

효율적인 알고리즘의 설계에 영향을 미치는 그래프 속성은 경계 트리 폭 및 일반적으로 이차원 성이라고 생각할 수 없습니다.

— 수레 쉬 벤 카트
소스

1

Hi Suresh : 이것이 제목 질문에 대한 "올바른"답변이라고 말하고 싶지만, 게시물을 조금씩 기꺼이 내놓으시겠습니까? 나는 그것이 기본적인 것들이라는 것을 알고 있지만 이미 한 폭 개념-cliquewidth-의 유효성을 희소 그래프로 확장하는 실수를 저질렀습니다.

— RJK

1

그래프를 인접 행렬로 생각할 수 있습니다. 행렬 희소성 (예 : 0 항목의 %)에 대한 여러 가지 정의가있어 그래프 자체로 다시 변환 될 수 있습니다. 항목의 %가 아닌 다른 순서로 다시 정렬 할 때의 행렬 대역폭은 그래프 희소성을위한 좋은 프록시가 될 수 있습니다 (대역폭은 축퇴와 관련이있는 것 같습니다).

— 살 x이
소스