쌍으로 교차하는 가족의 명중

타격 세트 가족의 $\mathcal{S} = \{S_1, \dots, S_n\}$ 서브셋 인 $H$ 의 이되도록 대 . 주어진 패밀리의 최소 타격 세트를 찾는 문제는 일반적으로 버텍스 커버 문제를 일반화하기 때문에 NP-hard입니다. 이제 내 질문은 : $\bigcup_{i=1}^{n} S_i$ $H \cap S_i \ne \emptyset$ $1 \le i \le n$

$\mathcal{S}$ 쌍 단위 의 요소가 교차 할 때 타격 세트 문제가 NP-hard로 유지 됩니까?

또한이 문제의 근사 경도 (또는 다루기 쉬움)에 관심이 있습니다.

cc.complexity-theory np-hardness approximation-hardness

— 요타 오타 치
소스

$S_i$ $e_i', e_i''$ $S_i' = S_i \cup \{ e_i'\}$ $S_i'' = S_i \cup \{e_i''\}$

다음으로, 새 시스템의 모든 세트 쌍에 대해 ( 혼동을 피하기 위해 $T_i$ 및 $T_j$ 함) 가짜 요소 작성하여 및 $x_{ij}$ 모두에 추가하십시오 . 결과 세트 시스템에서 모든 세트는 쌍으로 교차하지만 원래 최적의 타격 세트는 여전히이 최신 시스템에 대한 최적의 타격 세트입니다. $T_i$ $T_j$

더 이상의 제한이 없으면 문제는 원래 문제처럼 어렵게 보입니다.

BTW, 실제로 최적의 솔루션이 가짜 요소를 사용하지 않는다는 것을 증명하는 것은 사소한 것이 아닙니다. 먼저 새로운 시스템에 대해 주어진 타격 세트에 또는 포함되어 있지 않다고 가정 할 수 있습니다. 그렇지 않으면 요소를 세트의 원래 요소로 이동하고 비슷한 크기의 타격 세트를 얻을 수 있기 때문입니다. 요소 가 최적의 타격 세트에없는 이유를 확인하는 것이 약간 더 미묘합니다 . 가이 세트에서 파생 된 두 세트를 연결하는 경우 원래 시스템에서 두 세트 와 를 연결하는 그래프를 작성하는 것이 지루한 일이므로 힌트를 남기고 . 최소 타격 세트에서이 그래프는 이어야한다고 주장 $e_i'$ $e_i''$ $x_{ij}$ $S_i$ $S_j$ $x_{ij}$ $3$ 규칙적이며 그에 따라 모서리 수는 꼭짓점으로 존재하는 세트 수를 엄격하게 초과합니다. 따라서 이러한 세트에 대해 더 작은 타격 세트를 찾을 수 있습니다.

— 사리 엘 하 필링
소스

좋은 증거 주셔서 감사합니다. 나는 제한이 문제를 쉽게 만들 수 있다고 생각했고 틀렸다.

— 요타 오타 치