일반화 된 별 높이 문제가 진행됩니까?

언어의 (일반화 된) 별 높이는 확장 된 정규 표현식으로 언어를 표현하는 데 필요한 Kleene 별의 최소 중첩입니다. 유한 알파벳 대한 확장 정규 표현식 은 다음을 충족합니다. $A$

(1) 및 는 모든 대한 확장 정규식 $\emptyset, 1$ $a$ $a\in A$

(2) 모든 확장 정규식 $E,F$ ;
$E\cup F$ , $EF$ , $E^*$ 및 $E^c$ 는 확장 정규식입니다.

일반화 된 별 높이 문제의 한 가지 문구는 최소 일반화 된 별 높이를 계산하는 알고리즘이 있는지 여부입니다. 이 문제와 관련하여 몇 가지 질문이 있습니다.

이 문제와 관련하여 최근에 발전 (또는 연구 관심사)이 있었습니까? 나는 몇 년 전에 Pin Straubing과 Thérien이이 분야에서 몇 가지 논문을 발표 한 것을 알고 있습니다.
제한된 별 높이 문제는 1988 년 하시 구치 (Hashiguchi)에 의해 해결되었지만 일반화 된 버전 (내가 아는 한)은 여전히 열려 있습니다. 왜 이런 일이 일어날 지에 대한 직관이 있습니까?

도움이 될만한 링크는 다음과 같습니다. starheight

fl.formal-languages lower-bounds regular-expressions

— 혼란스러운
소스

'확장 된 정규 표현식 "또는 링크의 명확한 정의는 도움이 될 것 논문에 또한 링크 질문 구체화 도움이 들었다.

— 수레 쉬 벤 카트

@Suresh 유한 알파벳 A가 주어지면 확장 정규 표현식은 다음과 같이 정의됩니다. 모든 는 확장 정규 표현식입니다. 또한 결합, 연결, 보완 및 별표는 정규 표현식을 확장합니다. 기본적으로 보완을 추가합니다. 도움이 될만한 링크는 다음과 같습니다. liafa.jussieu.fr/~jep/PDF/StarHeight.pdf

\emptyset, 1, a

$\emptyset, 1, a$

a \in A

$a\in A$

— confusedmath

AFAIK, Pin은 웹 페이지 ( liafa.jussieu.fr/~jep/Problemes/starheight.html )를 최신 상태로 유지 하므로 아무런 진전이 없습니다.

— Michaël Cadilhac

감사합니다 : 질문에 포함시키는 것이 더 좋습니다.

— Suresh Venkat

이전 의견에서 "liafa.jussieu.fr"은 "www.liafa.univ-paris-diderot.fr"로 대체되어야합니다. 질문의 링크를 편집했지만 주석의 링크를 편집 할 수 없습니다.

— J.-E.

답변:

두 번째 질문과 관련하여 일반화 된 별 높이 문제가 왜 별 높이 문제보다 접근이 어려운지에 대한 설명은 다음과 같습니다. 1963 년 Eggan의 주요 논문에는 각 에 대해 (일반) 별 높이 언어가 포함되어 있습니다 . 몇 년 후, McNaughton과 독립적으로 Déjean과 Schützenberger는 이진 알파벳에 대한 예를 발견했습니다. 이것은 문제가 무엇에 관한 것인지 명확하게했다. 그 후 몇 년 동안, 일반적인 별 높이 문제의 영역에서 다소 꾸준히 발표 된 결과가 나왔습니다. 이로 인해이 문제를 둘러싼 출판 된 사례, 반례 및 현상이 계속 증가하고 있습니다. $k$ $k\ge 0$

대조적으로, 50 년이 지난 지금, 우리는 적어도 별이 2 개인 정규 언어가 있는지 알 수 없습니다. 따라서 우리는 결국 결정 절차가 필요한지조차 모릅니다. "완전한 예제 부족"은이 문제를 파악하기가 매우 어렵다는 것을 나타냅니다.

— 헤르만 그루버
소스

실제 알고리즘 발견에 직접적인 영향을받는 응용 프로그램 / 영역을 알고 있습니까? (순전히 지적 관점을 제외하고)

— 혼란

별 높이가 언어의 분류는 이론이 매우 풍부한 것으로 판명되었습니다 (예 : Robert McNaughton & Seymour Papert 참조). 카운터가없는 오토마타. MIT Press, 1971. 별 높이 의 언어 분류는 많은 결과를 초래할 수 있습니다. 그러나, 나는 "일반화 된 별 높이 계층 구조가 무한하다고 가정하면, 우리는 증명할 수있다"라는 직접적인 결과를 모른다. 그러나 나는 아마도 가장 좋은 사람이 아닐 수도 있습니다.

0

$0$

1

$1$

— 헤르만 그루버

통신 시스템의 구성 요소 비용을 추정하는 작업에서 제한된 스타 높이가 곧 적용될 것입니다. (아직도 미안합니다)

— Denis

이 답변은 2019 년 10 월 24 일에 사망 한 Janusz (John) Antoni Brzozowski의 기억에 전념합니다.

요한은 분명히 별 높이 문제를 그렇게 유명하게 만든 사람입니다. 실제로, 1979 년 12 월 산타 바바라에서 열린 컨퍼런스에서 그는 정규 언어에 관한 6 가지 공개 된 문제 중 하나를 발표했으며 그의 기사의 결론에서 다른 두 가지 주제를 언급했습니다 [1]. 이 6 가지 열린 문제는 순서대로 별 높이, 제한된 별 높이, 그룹 복잡성, 별 제거, 비계산 클래스의 규칙 성 및 접두사 코드의 최적 성입니다. 다른 두 가지 주제는 제한 문제와 점 깊이 계층입니다.

2015 년 6 월, 80 번째 생일을 기리는 하루 회의 에서이 질문들에 대해 최첨단 기술을 요약 한 두 가지 조사 기사를 발표했습니다 [2, 3]. 특히, 별 높이 문제에 대한 자세한 정보는 [2]에서 찾을 수 있습니다.

[1] JA Brzozowski, 공식 언어 이론에서 일반 언어에 대한 공개 문제 . 1979 년 12 월 10 ~ 14 일, 캘리포니아 산타 바바라에서 열린 심포지움의 전망과 열린 문제 Jovanovich, 출판사. XIII, 454 p., 1980.

[2] J.-É. Pin, 35 년 후 일반 언어에 대한 공개 문제 , Stavros Konstantinidis; 넬마 모레이라; 로제 리오 레이스; 제프리 샬리 트 컴퓨터 과학에서 이론의 역할-세계 과학, Janusz Brzozowski 전용 논문, 2017,

[3] J.-É. Pin, 45 년 후의 점 깊이 계층 . 스타 브로스 콘 스탄 티니 디스; 넬마 모레이라; 로제 리오 레이스; 제프리 샬리 트 컴퓨터 과학에서 이론의 역할-세계 과학, Janusz Brzozowski에 전념하는 에세이, 2017.

— 제이 핀
소스

이것을 공유해 주셔서 감사합니다-나는 당신의 대답에서 그가 세상을 떠났다는 것을 알게되었습니다.

— 헤르만 그루버

제한된 항 높이 문제의 해결책은 Colcombet의 풍부한 규칙적인 비용 함수 이론에 영감을 주었으며, 이는 다른 결정 가능성 문제를 해결하고 열린 문제를 공격 할 수있는 새로운 도구를 제공했습니다. 이 이론은 여전히 발전하고 있으며 무한한 단어, 유한 한 나무, 무한한 나무로 확장되었으며, 그 자체의 깊은 결과와 열린 문제가 있습니다. 다음은 Colcombet 웹 사이트 의 이론 이론 논문 및 참고 문헌 입니다.

따라서 일반화 된 별 높이를 직접 적용하는 것은 아니지만 별 높이와 같이 겉으로는 쓸모없는 문제에 대한 진행이 일반 언어를 더 잘 이해하고 다른 문제에 대한 새로운 결과를 산출 할 수 있음을 보여줍니다.

참조 : Thomas Colcombet. “안정성 단일체와 규칙적인 비용 함수 이론”. 에서 : ICALP 2009

— 데니스
소스