정규 그래프와 동형

이미 게시 된 결과가 있는지 묻고 싶습니다.

우리는 연결된 두 개의 정규 (그래서 정도 와 노드 수 ) 그래프의 각 노드 쌍 사이에 가능한 모든 다른 경로를 취하고 길이를 기록합니다. 물론이 고유 경로 수는 기하 급수적입니다. 내 질문은 길이를 정렬하고 비교하면 (두 그래프로 얻은 목록) 정확히 같은 경우 두 그래프가 동형이라고 말할 수 있습니까? $d$ $n$

물론, 이것이 결과라고해도 그래프의 동형에 대해 답장을하기 위해 그것을 사용할 수 없습니다.

으로 별개의 경로 , 내가 분명히, 적어도 하나 개의 다른 노드를 가진 경로를 참조하십시오.

도움을 주셔서 감사합니다.

— N27
소스

2- 정규 그래프에서는 서로 다른 경로가 매우 적습니다. 2- 정규 그래프는 서로 다른주기의 결합입니다. 따라서 각 정점 쌍 사이에 2 개 또는 0 개의 경로가 있습니다.

— Nathann Cohen

이 질문은 흥미롭지 만 MathOverflow 에 더 적합한 것으로 보입니다 .

— Niel de Beaudrap

답변:

동등한 조건이 GI에 대한 다항식 시간 솔루션을 의미하기 때문에 귀하의 질문에 대한 대답은 "아니오"라고 생각합니다.

들면 그래프의 인접 행렬 로부터 경로 수 있는지, 주 에 길이의 있다 (정점과 에지와의 반복은 허용). 두 그래프를 들어 및 (인접와 행렬 및 과) 가 요소 분류하면 및 순서대로 다음을 $A$ $G$ $i$ $j$ $k$ $(A^k)_{i, j}$ $G_1$ $G_2$ $A_1$ $A_2$ $k \ge 1$ $A_1^k$ $A_2^k$ 이 와 동형이되려면 모든 대해 목록이 동일해야합니다. $G_1$ $G_2$ $k$

나는 당신의 추측이 다음과 같다고 생각합니다.

요소의 정렬 된리스트 경우 과 에 대해 동일 에 다음 (비 반복 정점과 긴 경로 UPPERBOUND) 및 동형이다. $A_1^k$ $A_2^d$ $k = 1$ $n - 1$ $G_1$ $G_2$

따라서 GI를 풀기 위해서는 행렬 의 곱셈 (및 요소 를 정렬하고 비교하는 데 약간의 추가 시간 ) 만 수행하면됩니다. 이 시간 은 시간 미만 입니다. $n - 1$ $n \times n$ $n^2$ $n^4$

나는 논쟁에서 두 가지 가능한 결함을 인정한다. 첫째, GI가 다항식 시간 알고리즘을 가지고 있고 방금 지금 함께 발견했을 가능성이 있습니다 (후 레이, 우리는 유명합니다!). 나는 이것이 가능성이 거의 없다고 생각한다. 두 번째 (그리고 훨씬 더 가능성이 높음), 내가 제안한 것은 실제로 당신의 추측과 동일하지 않습니다.

마지막 생각. 예를 들어 크기 8 정도의 3 정규 그래프에 대해 이것을 사용해 보셨습니까? 나는 당신의 추측이 거짓이라면, 상당히 작은 크기의 3 규칙 그래프에 반대의 예가 있어야한다고 생각합니다.

— 비 ej
소스

길이 k의 i에서 j까지의 고유 경로 수가

라는 것을 몰랐습니다 . 그렇다면, 내가하고있는 일을 잘 이해하고 있다면, 나의 초기 가설에 대한 답이 될 것입니다.

(A^{k})_{i, j}

$(A^{k})_{i,j}$

— N27

@ N27 : 행렬 곱셈과 유도의 정의를 사용하여 증명할 수 있습니다.

— Tomek Tarczynski

네, 쉽게, 사실 ...

— N27

아, 다시 한 번 내 직감으로 나를 잃어버린 것 같습니다. 그래프에서 (또는 두 노드 사이의) 고유 한 단순 경로의 수를 세는 것은 #P 완료입니다. 다항식 시간 알고리즘이 간단한 경로를 세는 것과 같다고 말하면서 내 주장은 잘못되었습니다. 나는 또한 당신의 추측이 정확한지 확실하지 않습니다. 그러나 GI보다 # P- 완전한 문제를 해결하기로 선택하지 않았기 때문에 약간의 문제가 있습니다.

— bbejot

경로의 길이 만 비교하고 (그리고 내가 잘 이해하면 노드 쌍이 무엇인지 잊어 버리는 동안) 비교하기 때문에 매우 비슷한 그래프가 반례를 제공해야한다고 생각합니다. 결국 당신은 단지 세고 있습니다. 고정 된 길이의 경로 수와 연결된 정점과 독립적으로 예를 들어, 나는이 그래프들이 반대의 예라고 생각합니다 : http://www.mathe2.uni-bayreuth.de/markus/REGGRAPHS/GIF/06_3_3-2.gif 및 http://www.mathe2.uni-bayreuth.de/ markus / REGGRAPHS / GIF / 06_3_3-1.gif

내가 실수하지 않으면 (계산 경로가 지루합니다), 둘 다 길이 1의 경로 9, 길이 2의 경로 18, 길이 3의 48 경로, 길이 4의 30 경로 및 길이 5의 경로

— 아르노
소스

첫 번째 그래프에서 길이 3의 36 경로와 두 번째 그래프에서 길이 3의 30 경로를 계산합니다. 문제는 두 번째 그래프에 첫 번째 그래프가 아닌 길이 3의주기가 있다는 것입니다. 그러나 여전히 반례로 비교적 작은 그래프가 있어야한다는 데 동의합니다. 그래도 아직 찾지 못했습니다.

— bbejot

모든 작은 그래프를 테스트하는 프로그램을 작성하면 아마도 빠른 대답을 줄 것입니다.

— Arnaud

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— trg787
소스

이 그래프 (λ) = 무 모두

— trg787

그것은 3 간단한 쌍 (비 동형)의

— trg787

저게 뭐야? !! 그리고 하나 이상의 다른 경로가 있다는 것을 어떻게 알 수 있습니까?

— N27

모든 노드 쌍 사이의 가능한 모든 경로 목록이 동일하다는 것을 어떻게 알 수 있습니까?

— N27

어쨌든, 죄송합니다, 당신이 테스트하거나 말하려고하는 것을 이해하지 못합니다 ... 내 질문은 모든 노드 쌍 사이의 고유 한 경로의 모든 길이의 두 목록이 두 개의 비 동형 그래프에 대해 동일하지 않은지 여부였습니다.

— N27