느슨해 진 치수 축소?

Johnson-Lindenstrauss의 정리는 대략 에있는 점 의 모음 에 대해 맵 가 존재 한다고 말합니다 여기서 모든 : 측정 항목에 대해 유사한 문장을 사용할 수는 없지만 , 더 값으로 있는 방법이 알려져 있습니다 더 약한 보증을 제공함으로써 한계? 예를 들어, 대해 위의 보조 정리 버전이있을 수 있습니다n R d f : R d → R k k = O ( log n / ϵ 2 ) x , y ∈ S ( 1 − ϵ ) | | f ( x ) − f ( y ) | | 2 ≤ | | x − y | | 2 ≤ ( 1 + ϵ ) $S$$n$$\mathbb{R}^d$$f:\mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{R}^k$$k = O(\log n/\epsilon^2)$$x, y \in S$

$$(1-\epsilon)||f(x)-f(y)||_2 \leq ||x-y||_2 \leq (1+\epsilon)||f(x)-f(y)||_2$$ $\ell_1$$\ell_1$대부분의 점의 거리 만 보존하겠다고 약속하지만 일부는 임의로 왜곡 될 수 있습니다. "너무 가까운"포인트에 대해 곱셈 보장을하지 않는 것?

이러한 긍정적 인 결과에 대한 표준 참조는 안정적인 분포에 관한 Piotr Indyk의 논문입니다.

http://people.csail.mit.edu/indyk/st-fin.ps

그는위한 치수 감소 방법 도시 $\ell_1$ 점 중 어느 한 쌍의 사이의 거리가 증가하지 않는다 (팩터 이상으로 $1+\epsilon$ ) (계수 이상으로 감소하지 않는 일정한 확률과 거리와 $1-\epsilon$ )이 높은 확률로. 임베딩의 차원은 지수입니다 $1/\epsilon$.

내가 알지 못하는 후속 작업이있을 수 있습니다.

ℓ 1 ( "정상적으로 왜곡을 저하시키는 조건"하에서)에 대한 결과 와 일반적인 ℓ p 매립이있는 " 완벽한 보증이 포함 된 지표 임베딩" 용지를 참조하십시오 .$\ell_1$$\ell_p$

ℓ 1 용지의 치수 축소 를 위한 실용 절차 도 살펴보십시오 .$\ell_1$

$\ell_1$$O(n/\epsilon)$$O(1/(\delta\epsilon))$$1-\delta$

$\ell_1$$S$$c$$\mathbb{R}^d$$k$$c$$c$$V$$\ell_1^d$$L_1$$f:\ell_1^d \rightarrow \ell_1^k$$k = O(\epsilon^{-2}c\log c)$$x, y \in V$$(1-\epsilon)\|f(x) - f(y)\|_1 \leq \|x - y\|_1 \leq (1+\epsilon)\|f(x) - f(y)\|_1$$f$$S$

$f$$S$$k \times d$