빠른 목록 조작 및 주문 쿼리를위한 데이터 구조가 있습니까?

세트가 있습니다 $L$집합의 요소 목록 $N = \{ 1, 2, 3, ..., n \}$. 각 요소$N$ 단일 목록에 나타납니다 $L$. 다음 업데이트를 수행 할 수있는 데이터 구조를 찾고 있습니다.

1. $concat(x, y)$ : 포함하는 목록을 연결 $y$ 를 포함하는 목록의 끝에 $x$

2. $split(x)$ :를 포함하는 목록을 분할합니다 $x$ 바로 후 $x$

또한 다음 쿼리를 수행해야합니다.

1. $follows(x, y)$ : 반환 $true$ 만약 $x$ 과 $y$ 같은 목록에 있고 $y$ 후에 온다 $x$ (그러나 반드시 $x$)

2. $first(x)$ :를 포함하는 목록의 첫 번째 요소를 반환합니다. $x$

3. $next(x)$ : 다음에 다음 요소를 반환 $x$ 목록에 $x$

나는 이미 이러한 업데이트를 수행하는 데이터 구조를 생각해 냈습니다. $O(lg^2 (n))$ 와 검색어 $O(lg (n))$시각. 나는 이것을 할 수있는 데이터 구조가 이미 있는지 아닌지에 관심이있다.

동기 부여 : 루트 지정 포리스트는 이러한 목록 집합 중 두 가지로 표현 될 수 있으며 이러한 포리스트에서 도달 가능성을 빠르게 계산할 수 있습니다. 나는 그들이 무엇을 위해 사용할 수 있고이 모든 것이 이미 알려져 있는지 알고 싶습니다.

정수를 건너 뛰기 목록에 유지하십시오. 일반적인 스킵리스트는 키순으로 정렬되지만 시퀀스의 표현으로 사용합니다. 또한 크기의 포인터 배열을 유지하십시오.$n$. 배열의 각 요소는 건너 뛰기 목록의 노드를 가리켜 야합니다. 나는 이것이 지원한다고 믿는다.$next$ 에 $O(1)$ 그리고 다른 모든 작업 $O(\lg n)$.

구체적으로 특별히:

• $concat$또는 $split$두 개의 건너 뛰기 목록을 사용하면 $O(\lg n)$ 시간이 많아서 대부분 무효화됩니다 $O(\lg n)$ 포인터.
• $next$ 리프 레벨에서 앞으로 포인터를 따라 가면 $O(1)$ 시각.
• $first$ 소요 $O(\lg n)$시간 : 당신이 붙어 때까지 포인터를 따르고, 왼쪽 포인터를 따르십시오. 더 이상 왼쪽 포인터를 따라갈 수 없으면 건너 뛰기 목록의 머리 포인터입니다. 잎에 대한 포인터를 따라 간 다음 하나의 앞으로 포인터를 따릅니다. 이것이 목록의 첫 번째 요소입니다.
• $follows$다소 까다 롭습니다. 다음과 같이 진행하십시오$first$ ...에 대한 $y$, 그러나 붙어있는 값의 목록을 기록하십시오 (즉, 더 이상 포인터를 따라갈 수없는 곳). 이 목록을 "추적"으로 기록합니다. 같은 일을$x$하지만 왼쪽이 아닌 붙어 있으면 오른쪽 포인터를 따르십시오. 만약$x$ 선행 $y$, 그들의 흔적이 교차합니다. 흔적의 크기는$O(\lg n)$. 트레이스의 각 요소에 멈춤 레벨이 표시되면 시간의 교차점을 확인할 수 있습니다$O(\lg n)$.

$next$ 최악의 경우 $O(1)$다른 모든 사람들은 $O(\lg n)$ 높은 확률로 . 결정적인 건너 뛰기 목록을 사용하여 최악의 경우를 만들 수 있습니다.

나는 생각한다 $concat$ 만들 수있다 $O(\lg \lg n)$잎 수준으로 연결된 (2,5) 나무를 사용하고 등뼈를 강화합니다. 부트 스트랩 트릭에 대해서는 Kaplan 및 Tarjan 의 " 순전히 정렬 가능한 정렬 목록의 기능적 표현 "을 참조하십시오 .

최소 공통 조상 : 문제는 당신은 또한 다음에 관심이있을 것입니다 상상 있도록 동적 뿌리 나무의 접근 가능성 문제를 해결하는 데 사용할 수있는 최적의 알고리즘을 찾기 위해 공통 조상 가장 가까운 동적 나무에 , Alstrup 및 Thorup에 의해. 이 논문은$O(n + m \log \log n)$ ...에 대한 $n$ 링크와 $m$ 포인터 머신의 nca 쿼리.