토폴로지 특성의 복잡성.

저는 토폴로지 (코스 연속체 이론에 큰 영향을받는 포인트 세트 토폴로지의 뿌리)에 관한 과정을 수강하는 컴퓨터 과학자입니다. 토폴로지 특성에 대한 공간 설명 (단순으로)을 테스트하는 의사 결정 문제에 관심을 갖게되었습니다. 그것들은 동종 형성까지 보존되었다.

예를 들어, 매듭의 속을 결정하는 것은 PSPACE에 있으며 NP-Hard 인 것으로 알려져 있습니다. (Agol 2006; Hass, Lagarias, Pippenger 1999)

AA 마르코프 (아들 기타 결과보다 더 일반적인 느낀다 마르코프) 1958 나타났다 차원으로 위상 동 형사상 두 공간을 테스트한다는 이상으로하는 (4 매니 폴드에 대한 결정 불가능을 표시하여) 결정 불가능이다. 불행히도,이 마지막 예는 내 질문에 대한 완벽한 예가 아닙니다. 왜냐하면 동종 형태로 보존 된 속성보다는 동종 형태 문제 자체를 다루기 때문입니다. $5$

"낮은 차원의 토폴로지"에는 매듭과 그래프 이론이 많이 있습니다. 저 차원 토폴로지의 결과에는 확실히 관심이 있지만 일반화 된 결과에는 더 관심이 있습니다 (이것은 드문 것 같습니다).

평균적으로 NP-Hard 인 문제에 가장 관심이 있지만 알려지지 않은 문제를 나열하도록 권장합니다.

위상 특성의 계산 복잡성에 대해 알려진 결과는 무엇입니까?

cc.complexity-theory big-list topology

— 로스 스나이더
소스

특정 질문을 구성 할 수 있습니까?

— Suresh Venkat

누군가 이의를 제기하기 전에이 질문이 구체적이라고 생각하는 이유를 변호하도록하겠습니다. 나는 일반적인 문헌 검색을 수행했으며 내 질문에 대한 답변이 비교적 적다는 것을 알았습니다. 따라서 질문에 대한 답변에는 특정 수준의 전문 지식이 필요합니다. 또한,이 TCS SE에서 계산 토폴로지는 논란의 여지가 없습니다.

— 로스 스나이더

결과는 목록 일 수 있으므로 CW 여야합니까?

— Suresh Venkat

나는 이것이 큰 질문이라고 생각합니다. 토폴로지 문제의 계산 복잡성에 대해서는 알려진 바가 거의 없으며 한 곳에서 수집되었다고 생각하지 않습니다 (있는 경우 하나의 대답으로 충분하며 질문은 CW가 아니어야 함).

— 피터 쇼어

S.Matveev의“3 매니 폴드의 알고리즘 토폴로지 및 분류”를 고려 했습니까? ( springer.com/mathematics/geometry/book/978-3-540-45898-2 무료로 다운로드 가능한 목차)

— Artem Pelenitsyn

답변:

전산 토폴로지는 방대한 연구를 포함합니다 . 모든 복잡성 결과에 대한 완전한 요약은 불가능합니다. 그러나 작은 맛을 내기 위해 당신의 모범을 넓히겠습니다.

1911 년에 Max Dehn은 유한하게 제시된 그룹에 대해 문제라는 단어를 제기했습니다 . 생성기 알파벳 위에 문자열이 주어지면 식별 요소를 나타 냅니까? 1 년 후 Dehn은 오리 엔터 블 표면의 기본 그룹 에서 단어 문제에 대한 알고리즘을 설명했습니다 . 동등하게, Dehn은 주어진 오리 엔터 블 표면에서 주어진 사이클이 수축 가능한지를 결정하는 방법을 설명했다. 올바르게 구현 된 Dehn의 알고리즘 은 에서 실행됩니다. $O(n)$ 시간 . 같은 1912 년 논문에서 Dehn은 "모든 수학 문제를 해결하는 것만 큼 모든 그룹에 대한 단어 문제를 해결하는 것이 불가능할 수있다"고 동의했습니다.

1950 년, 튜링은 단어 문제가 유한하게 제시됨을 증명했습니다 반 그룹 는 중지 문제 (놀람, 놀라움)를 줄임으로써 결정할 수 .

Turing의 결과를 바탕으로 Markov는 1951 년에 유한하게 제시된 반 그룹의 사소한 모든 속성이 결정 불가능하다는 것을 증명했습니다. 그룹의 속성은 일부 그룹에 속성이 있고 다른 그룹에는없는 경우 중요하지 않습니다. 이론적 인 컴퓨터 과학자들은 부분 함수에 대한 비슷한 결과를 "쌀의 정리"로 알고 있습니다.

1952 년에 노비 코프는 유한하게 제시된 그룹 에서 단어 문제라는 것을 증명했습니다. 가 결정 불가능하다는 것을 증명하여 Dehn의 직관이 정확함을 증명했습니다. 동일한 결과는 1954 년 Boone과 1958 년 Britton에 의해 독립적으로 입증되었습니다.

1955 년 Adyan은 유한하게 제시된 그룹 의 모든 사소한 속성 이 결정 불가능 하다는 것을 증명했습니다 . 동일한 결과는 1956 년 라빈 독립적으로 확인되었다 (예, 그 라빈).

마지막으로, 1958 년에 Markov는 그룹 프레젠테이션을 입력으로하여 원하는 기본 그룹으로 2 차원 셀 컴플렉스와 4 차원 매니 폴드를 구성하는 알고리즘을 설명했습니다. 이 결과는 다음을 포함하여 수많은 토폴로지 문제를 결정할 수 없음을 즉시 암시했습니다.

주어진 2 차원 복합물에서 주어진주기가 수축 가능한가? (이것은 단어 문제입니다.)
주어진 2- 복합체가 단순히 연결되어 있습니까? ( "이 그룹은 사소한가요?")
주어진 4- 매니 폴드의 주어진주기가 수축 가능합니까?
주어진 4- 매니 폴드는 계약 가능합니까?
주어진 4- 매니 폴드 동종 체가 특정 4- 매니 폴드 (Markov에 의해 구성됨)에 대해 있습니까?
주어진 5 매니 폴드 동종 체가 5 구 (또는 선택한 다른 고정 5 매니 폴드)에 동종입니까?
주어진 6- 복합체가 매니 폴드입니까?

$G$ $G$ $\pi_1(S^3)$ $G$ 가 3- 매니 폴드 그룹 $G$

— 제프
소스

제프 고맙습니다. 이것은 정말 좋은 일이며 두 번째 예를 엄청나게 확장합니다.

— 로스 스나이더

나는이 답변이 놀라운 것이 아니라 더 많은 답변을 장려하려고하기 때문에 (특히 첫 번째 예와 같이) 질문에 현상금을 추가했습니다. 다시 감사합니다.

— 로스 스나이더

3- 매니 폴드 그룹이 될 수 없다는 결정에 대한 당신의 주장은 나에게는 약간 흔들리는 것 같습니다. G가 그룹 인 3- 매니 폴드를 구성 할 수는 없지만 매니 폴드를 구성하지 않고 예 또는 아니오로 대답 할 수있는 방법이 있습니까? 그런 다음 Perelman은 계속 할 일이 없었습니다.

— David Eppstein

Henry Wilton의 자세한 설명은 다음과 같습니다. ldtopology.wordpress.com/2010/01/26/…

— Jeffε

@JeffE-왜 내 이전 의견을 무시했는지 모르겠습니다. 거기 인 A (접속 종료) 세 매니 폴드의 근본적인 기 사소한 경우 결정하는 EXP 시간 알고리즘. "이 알고리즘의 복잡성에 대한 경계가 알려져 있지 않다"고 말하는 것은 잘못되었습니다. 내가 무엇을 놓치고 있습니까? 설명해 주시겠습니까?

— Sam Nead

Ryan Budney는 MathOverFlow에서 비슷한 토론을 시작했습니다.

https://mathoverflow.net/questions/35946/how-expensive-is-knowledge-knots-links-3-and-4-manifold-algorithms

https://mathoverflow.net/questions/144158/what-is-the-state-of-the-art-for-algorithmic-knot-simplification/145927

그리고 Wikipedia에서 :

http://en.wikipedia.org/wiki/Talk:Computational_topology

— 샘 니아 드
소스