증거를 무너 뜨리는 방법

증명을 확인하기위한 일반적인 지침은 무엇입니까? 나는 이것이 나와 같은 대학원생에게 중요하다고 생각합니다. 나는 우리가 무언가를 증명하기 위해 무엇을해야하는지 이미 알고 있지만, 그것을 보내기 전에 항상 모든 것을 점검해야합니다. 당신의 고문에게도.

시행 착오를 통해 몇 가지 전략을 개발했으며 조언자로부터 많은 조언을 받았습니다. 그러나 이것은 항상 매우 지루한 작업입니다. 일반적으로 무언가를 끝내면 다음 문제로 넘어 가고 싶지만 모든 것이 완벽해질 때까지 현재 문제를 고수해야합니다. 여기에 내 자신의 트릭 목록의 예를 제시합니다.

1. 세부 사항을 작성하십시오. "일반적인 것을 잃지 않고 ...", "...
2. 숫자를 입력하십시오. " 또는 n = 1000을 설정할 때 발생하는 상황"과 같은 극단적 인 경우를 시도하십시오 .$n=1$$n=1000$
3. 깨끗한 노트를 유지하십시오. 매일 그것에 글을 쓰고 거친 메모와 비교하십시오. 나는 라텍스로도 쓰려고 노력하는데, 이런 식으로 많은 실수를 발견했습니다.

증명을 확인하기 위해 적용하는 일반적인 전략은 무엇입니까?

이 질문의 목적은 커뮤니티 위키를 만드는 것입니다.

소프트웨어 엔지니어는 " 코드 냄새 " 라고하는 개념을 가지고 있습니다 . 이는 코드에서 더 깊은 문제를 나타낼 수있는 증상입니다. 소프트웨어 엔지니어는인지 할 냄새 목록 (예 : 너무 길거나 너무 많은 매개 변수)을 수집합니다. 반드시 문제가 있음을 의미하지는 않지만 작가가 이중 점검을 원할 수도 있음을 나타냅니다.

나는 또한 "악취 방지" 도 고려해야한다고 제안한다 . 이것은 증명을 확인하는 알고리즘을 제공하지는 않지만 증명의 가능한 문제를 인식하기위한 언어와 은유를 제공합니다. 증거의 몇 가지 예는 다음과 같습니다.

1. 부사 "명백하게", "명백하게"등
2. 결과 자체에 대한 참조 대신 이전 결과의 증거에 대한 참조
3. 많은 기술적 인 전제 조건이있는 결과의 Flippant 사용.

더 미묘한 냄새도 있습니다. 예를 들어, 증명에서 이항 정리를 사용하여 식을 확장 한 다음 나중에 이항 정리를 사용하여 닫힌 형태로 돌아 가면 닫힌 형태를 직접 조작하여 동일한 결과를 얻을 수 있습니다.

내 제안은 그러한 냄새의 (정신적 또는 서면) 목록을 수집하고 작업을 읽을 때 냄새를 확인하는 것입니다. 이 접근 방식의 좋은 부작용은 더 나은 독자가 될 것입니다.

참고 :이 답변에 대한 희망은 M. Alaggan의 답변에 언급 된 Lamport의 How to Proof Proof에서 제공하는 엄격한 답변에 직관적 인면을 제공하는 것이 었습니다.

Leslie Lamport의 아주 좋은 논문이 있습니다 ( 증명을 작성하는 방법 ). 실제로 다음과 같은 방식으로 자세한 증거를 작성하는 스타일에 대한 제안입니다.

(1) 오류를 직접 감지 할 수 있습니다

(2) 어떤 가정에 대한 가정과 정리가 어느 부분에 사용되었는지를 명확하게하여 더 약한 가정을 사용하려는 경우 어떤 일이 발생하는지 쉽게 알 수 있습니다.

일부도 있습니다 사회 경험 일반적으로 긍정적 인 경험 (그리고 다른 자원도)를 보여줍니다 MO에이 기술에 영감 해설.

업데이트 : 새로운 버전 이 있습니다 21 세기 증거를 작성하는 방법 .

Dick Lipton은 ' 증명을 증명하는 방법은 증거 ' 라는 멋진 기사를 가지고 있습니다.

물리학 자들이 비슷한 문제를 다루는 방식에 대해 오래 전에 인기있는 기사를 읽은 것을 기억하는 것 같습니다. 다음 버전이 얼마나 정확한지 누가 알겠습니까? 정정을 환영합니다. 그러나 나는 기본 전략이 매우 주목할 만하다는 것을 알았습니다.

그들은 블랙홀을 어떻게 믿었는지 설명했습니다. 블랙홀은 처음에는 웜홀과 같은 물리학의 다른 이상한 물체와 같이 순수하게 수학적 구조였습니다. 그들의 전략은 눈에 띄었다. 테스트 할 물체에 다른 물체를 수학적으로 던질 것이다. 웜홀은 정상적인 물리적 물체, 소행성이 존재하는 경우에도 웜홀이 무너지는 것을 발견했기 때문에 테스트에 실패했습니다. 그러나 블랙홀은이 테스트를 통과했습니다. 블랙홀은 소행성이 던져져도 살아남을 것입니다. 그래서 그들은 별을 던지려고 노력했습니다. 같은 결과입니다. 마지막으로, 그들은 블랙홀에 또 다른 블랙홀을 던졌고 생존했습니다. 그 결과, 그들은 실제 우주에서 실제로 그들을 찾기 시작할 블랙홀의 존재에 대해 확신을 갖게되었습니다.

따라서 위의 전략의 관련성과 적용은 증거에 물건을 던지기 시작하는 것입니다. 위생 검사에서 살아남 습니까? 필요한 가정을 제거하면 예상대로 축소됩니까? 범위를 벗어난 사례에 적용될 때처럼 축소됩니까? 합리적인 일반화 및 전문화에 견딜 수 있습니까? Polya의 해결 방법 에서 휴리스틱 목록을 살펴보십시오 . 이러한 휴리스틱을 사용하여 증거를 변경하고 그것이 제대로 작동하는지 확인하십시오.

가장 안전한 방법 중 하나는 여러 개의 독립적 인 증거를 제시하는 것입니다. 그런 다음 증거에 대한 세부 사항에 실수가 있어도 주요 결과가 정확하다고 확신 할 수 있습니다.

내가 찾은 유용한 기술 중 하나는 증거 전략이 증명할 수있는 다른 결과에 대해 생각하는 것입니다. 큰 공개 문제 또는 공개되지 않은 문제를 증명하기 위해 증거 전략을 쉽게 조정할 수 있지만 증명 전략의 복잡성에 비해 너무 복잡한 솔루션을 가지고 있다면 의심 할만한 큰 이유입니다. 증거.

항상 COQ 또는 ISABELLE 과 같은 증명 검사기로 증명을 다시 확인 합니다. 이러한 프로그래밍 언어로 증명을 증명할 수 있으면 증명이 올바른지 확인할 수 있습니다. 람다 용어처럼 간단합니다.).