차수 1의 n 다항식 곱하기

문제는 다항식 입니다. 모든 계수가 기계어에 적합하다고 가정합니다. 즉, 단위 시간으로 조작 할 수 있습니다. $(a_1 x + b_1) \times \cdots \times (a_n x + b_n)$

FFT를 트리 방식으로 적용하여 시간을 수행 할 수 있습니다 . 당신이 할 수 ? $O(n \log^2 n)$ $O(n \log n)$

— 미하이
소스

좋은 질문입니다. 누군가의 블로그에서 비슷한 것을 보았지만 어디에 있었는지 기억할 수 없습니다.

— Grigory Yaroslavtsev

마이너 관찰 : 우리가 (Q, 말을 통해 작업을) 알고있는 n 개의 뿌리는

문제가 상당하므로 : 감안할 때

다항식을 계산

. (나는 생각한다.)

α_{i} = - b_{i} / a_{i}

$\alpha_i = -b_i/a_i$

α_{1}, \dots, α_{n}

$\alpha_1, \dots , \alpha_n$

(x - α_{1}) \dots (x - α_{n})

$(x-\alpha_1)\dots(x-\alpha_n)$

— ShreevatsaR

결과에 대한 참조를 제공 할 수 있습니까 ?

O (n \log^{2} n)

$O(n\log^2 n)$

— Mohammad Al-Turkistany

@Suresh가 언급했듯이 간단한 분할 및 정복 접근 방식입니다. 그 n 개의 폴리곤이 다른 정도가 가질 수 있도록 일반화 될 수있다

하는 경우에 당신이 허프만 트리 방식으로 나눌 수 있습니다. Strassen : 연속 분수의 계산 복잡성을 참조하십시오.

d_{i}

$d_i$

— Zeyu

시간

에서 상수 차원 2 의

벡터의 컨벌루션을 계산할 수 있습니까 ?

n

$n$

O (n \log n)

$O(n \log n)$

— Kaveh

경고 : 아직 완전한 답변이 아닙니다. 타당성 주장으로 인해 불편한 경우 읽기를 중단하십시오.

복소수에 (x-a_1) ... (x-a_n)을 곱하려는 변형을 고려할 것입니다.

문제는 n 포인트에서 다항식을 평가하는 데 이중입니다. 우리는 이것이 포인트가 n의 근본이되는 O (n log n) 시간에 영리하게 수행 될 수 있다는 것을 알고 있습니다. 이는 고속 푸리에 변환의 기본이되는 일반 다각형의 대칭을 이용합니다. 이 변환은 일반적으로 시간에 따른 데시 메이션과 주파수에 의한 데시 메이션이라고하는 두 가지 형태로 제공됩니다. 기수 2에서는 짝수 측면 정규 다각형의 이중 대칭 쌍에 의존합니다. 연동 대칭 (정사각형은 2 개의 연동 정삼각형으로 구성됨)과 팬 전개 대칭 (정사각형을 반으로 자르고 팬처럼 조각을 펼칩니다) 정삼각형으로).

이러한 관점에서, 특별한 대칭이없는 임의의 n 포인트 집합에 대해 O (n log n) 알고리즘이 존재한다는 것은 타당하지 않은 것처럼 보인다. 복잡한 평면의 임의의 점 세트와 비교할 때 일반 다각형에 대해 알고리즘 적으로 예외적 인 것은 없음을 의미합니다.

— Vognsen 당
소스

Ω (n \log^{2} n)

$\Omega(n\log^2 n)$

참된! 더 명확한 답을 얻었 으면 좋겠다. 이것은 매우 흥미 롭다.

— Per Vognsen

현상금이 수여되었습니다!

— Jeffε

@PerVognsen :이 관점에 대한 참조를 줄 수 있습니까? 다각형의 대칭 / 연동 대칭? 또는 이것이 자신의 관찰 인 경우 조금 더 확장 할 수 있습니까?

— Joshua Grochow