Craig interpolant를 계산하는 데 알려진 알고리즘은 무엇입니까?

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보간 계산을위한 알고리즘에 대한 조사가 있습니까? 하나의 알고리즘에 대한 논문은 어떻습니까? 내가 가장 관심이있는 경우는 및 이며, 보간이 가능한 작다는 제약이 있습니다. (나는 2005 년부터 McMillan의 논문을 알고있다.이 논문은 정량자를 피하면서 보간법을 얻는 방법을 설명한다.) $A=\lnot p\land q$ $C=q$

배경 : 크레이그 보간 정리 (1957) 만약 있다고 , A (인 FOL ) 화학식 및 의 식이다 , 다음 화학식있다 되도록 와 . 공식 는 와 의 크레이그 보간 입니다 $\vdash_{T_A\cup T_C}A\to C$ $A$ $T_A$ $C$ $T_C$ $B$ $\vdash_{T_A}A\to B$ $\vdash_{T_C}B\to C$ $B$ $A$ $C$ (또는 다른 정의에서는 와 ). 의 사소한 보간 된 및 이다 , 하지만 내가 원하는 작은 일부 합리적인 정의, 보간 된을 '작은'(예 : 구문 크기). 보간기에는 많은 용도가 있으며 궁금한 경우 여기에 하나가 있습니다. $A$ $\lnot C$ $\lnot p\land q$ $q$ $q$

동기 부여 : 이는 검증 조건 생성을 통한 (매우) 증분 프로그램 검증에 유용합니다.

— 라두 GRIGore
소스

다양한 증명 시스템의 주어진 증명에서 보간법을 찾는 복잡성에 대한 다양한 결과가 있습니다. 일부 약한 증명 시스템에서는 보간법을 효율적으로 찾을 수 있으며 (그리고 우리는 증명 시스템이 실현 가능한 보간 속성을 만족한다고 말하지만) 강력한 시스템은 암호에 그럴듯한 가설을 가정하는이 속성이 없습니다. 요컨대, 보간법을 찾는 알고리즘은

를 나타내는 데 사용되는 증명 시스템에 따라 다릅니다 .

A \to C

$A \to C$

— Kaveh

뭔가 빠졌을 것입니다. 사소한 보간

크기는 1입니다. 어떻게 작을 수 있습니까?

q

$q$

— Emil Jeřábek 님이 Monica 님을 지원합니다

@ EmilJeřábek :

와

는 수식을 나타내는 메타 변수입니다. 예를 들어,이 수

및

,이 경우에

의 좋은 보간입니다

p

$p$

q

$q$

p \equiv ((x = 1) \lor p r i m e (x))

$p\equiv((x=1)\lor{\it prime}(x))$

q \equiv ((x = 1) \land o d d (x))

$q\equiv((x=1)\land{\it odd}(x))$

f a l s e

${\bf false}$

\neg p \land q

$\lnot p\land q$ 및

, 때문에

시켰음입니다. 내 응용 프로그램에서

는 오래된 검증 조건 이고

는 프로그램을 약간 편집 한 후에 얻은 검증 조건입니다.

q

$q$

\neg p \land q

$\lnot p\land q$

p

$p$

q

$q$

— Radu GRIGore

내가 참조. 나는 표기법에 상당히 혼란스러워합니다.

가 소문자이고

대문자 인 이유 가 있습니까?

p, q

$p,q$

A, B, C

$A,B,C$

— Emil Jeřábek은 Monica

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Himanshu Jain 의 박사 학위 논문 , 만족도 검사를 사용한 검증, 술어 추상화 및 Craig 보간을 살펴보십시오 . 그는 검증에 응용할 수있는 몇 가지 기본 기술의 성능을 고려하고 선형 방정식과 디오 판틴을 포함한 공식의 보간에 관한 장을 가지고 있습니다.

그는 내가 Bibel의 연결 방법으로 알고있는 것과 General Matings라고하는 것을 특히 살펴 봅니다. 이들은 만족도에 대한 공식 추론 기반의 접근 방식이 아니라 그래프 기반입니다. 만약 당신이 그것들에 일반적으로 관심이 있다면, Dominic Hughes의 합리적으로 짧은 (11 페이지) 증명없는 구문을 추천하겠습니다 .

— 찰스 스튜어트
소스

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흥미롭게도 컷 제거와 보간 정리 사이에는 관련이 있습니다. 우선 모든 보간 정리는 컷 제거 과정에서 사용 된 믹스 규칙 제거의 역으로 보입니다. 이 제거는 말합니다 :

If G |- A and D, A |- B are cut-free proofs,  
then there is a cut-free proof G, D |- B

이제 컷없는 교정에 기반한 한 가지 형태의 보간 정리는 다음과 같이 수행 할 수 있습니다. 거꾸로 된 버전의 제거입니다. G, D |-B로 시작하고 G |-A 및 D, A |-B를 제공합니다.

If G; D |- B is a cut free proof,  
then there is a formula A (the interpolant) 
and cut free proofs G |- A and D, A |- B,  
and A uses only propositions simultaneously from G and D

나는 선점 G와 D 사이에 세미콜론을 의도적으로 넣었습니다. 이것은 우리가 선을 그리는 곳으로, 보간을 전달하는 것으로 보길 원하고, 보간을 사용하여 보려는 선점입니다.

입력 값이 컷 프리 증거인 경우, 알고리즘의 노력은 컷 프리 증거의 노드 수에 비례합니다. 따라서 실제 방법은 입력에서 선형입니다. 컷 프리 프루프의 각 프루프 단계에서 알고리즘은 새로운 연결을 도입하여 보간을 구성합니다.

위의 관찰은 간단한 보간 구조에 대한 것입니다. 여기서 보간법은 G와 D로부터 동시에 명제를 갖기 만하면됩니다. 가변 조건을 가진 보간법은 약간의 추가 단계가 필요합니다.

컷오프 방지의 최소 도와 보간 크기 사이에 연결이있을 수 있습니다. 모든 컷 프리 증거가 최소 인 것은 아닙니다. 예를 들어, 균일 한 교정은 종종 절단없는 교정보다 짧습니다. 균일 한 증거에 대한 명예는 다음과 같은 형식의 규칙 적용으로 매우 간단합니다.

 G |- A       G, B |- C
 ----------------------
     G, A -> B |- C

B가 C의 증거로 사용되지 않을 때 피할 수 있습니다. B가 C의 증거로 사용되지 않는 경우, 우리는 이미 G | -C를 가지게되므로 G, A-> B | -C를 약화시켜 보간합니다. 여기에 언급 된 알고리즘은 이것에주의를 기울이지 않을 것입니다.

친애하는

참고 문헌 : 크레이그의 보간 정리는 2006 년 7 월 12 일 캠브리지 대학교의 톰 릿지 이사벨 / HOL에서 공식화되고 기계화되었습니다. http://arxiv.org/abs/cs/0607058v1

위의 참조는 연속의 결론 부분에서 다중 집합을 사용하기 때문에 동일한 보간을 정확하게 표시하지 않습니다. 또한 의미를 사용하지 않습니다. 그러나 내 복잡성 주장을 뒷받침하고 기계화 된 검증을 보여주기 때문에 흥미 롭습니다.

Jan, cstheory에서 LaTeX 스타일 수학을 사용할 수 있습니다.

— Kaveh

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이 질문을 한 지 2 년이 지났지 만 그 당시 크레이그 보간법을 계산하는 알고리즘에 관한 논문이 더 많이 나왔습니다. 이것은 매우 활발한 연구 분야이며 여기에 포괄적 인 목록을 제공하는 것은 불가능합니다. 나는 아래에서 다소 임의로 기사를 선택했습니다. 나는 그들을 참조하고 관련 작업 섹션을 읽고 풍경의 명확한 그림을 얻기 위해 다음 기사를 제안 할 것입니다.

만족도 모듈로 이론에서 효율적인 보간 생성 , Alessandro Cimatti, Alberto Griggio, Roberto Sebastiani, ACM TOCL, 2010.

선형 합리적 산술, 합리 및 정수 차이 논리, 및 불평등 당 단위 2 변수 논리 (UTVPI)에 대한 보간을 다룹니다.
만족도 모듈로 선형 정수 산술 , Alberto Griggio, Thi Thieu Hoa Le 및 Roberto Sebastiani 에서 효율적인 보간 생성 2010.
보간 , Greta Yorsh 및 Madanlal Musuvathi 생성을위한 조합 방법 . 2005.

Nelson-Oppen 이론 조합이있을 때 보간법을 생성하는 방법을 보여줍니다.
평등 이론에 대한 지상 보간 , Alexander Fuchs, Amit Goel, Jim Grundy, Sava Krstic, Cesare Tinelli. 2011.
완벽한 인스턴스화 기반 보간 , Nishant Totla 및 Thomas Wies. 2012.
분류 자 보간 , Rahul Sharma, Aditya V. Nori 및 Alex Aiken, 2012.

— 비제이 D
소스