멀뮬 리의 GCT 프로그램

때때로 Ketan Mulmuley의 기하 복잡성 이론은 P 대 NP 문제와 같은 복잡성 이론의 공개 질문을 해결하는 유일한 그럴듯한 프로그램이라고 주장합니다. 이 프로그램에 대한 유명한 복잡한 이론가들로부터 몇 가지 긍정적 인 논평이있었습니다. Mulmuley에 따르면 원하는 결과를 얻는 데 시간이 오래 걸릴 것입니다. 이 영역에 들어가는 것은 일반적인 복잡한 이론가에게는 쉽지 않으며 대수 기하학과 표현 이론을 다루기 위해 상당한 노력이 필요합니다.

1. 왜 GCT가 P 대 NP를 정산 할 수있는 것으로 간주됩니까? 청구에 도달하는 데 100 년 이상 걸릴 것으로 예상되는 경우 청구의 가치는 무엇입니까? 다른 현재의 접근 방식과 향후 100 년 내에 증가 할 수있는 접근 방식에 대한 이점은 무엇입니까?

2. 프로그램의 현재 상태는 무엇입니까?

3. 프로그램의 다음 목표는 무엇입니까?

4. 프로그램에 대한 근본적인 비판이 있습니까?

나는 대수 기하학과 표현 이론에서 최소한의 배경을 가진 일반적인 복잡성 이론가가 이해할 수있는 대답을 선호합니다.

다른 많은 사람들이 지적한 바와 같이, Mulmuley, Regan 및 다른 사람들이 이러한 많은 질문에 대해 이미 많이 언급했습니다. 나는 여기에 아직 언급되지 않은 핵심 요점이라고 생각하는 것에 대한 간략한 요약을 제공 할 것입니다.

1. 왜 GCT가 를 보여줄 수 있다고 생각 되는가에 관해서 는 이미 많은 다른 답변들이 주어졌으며 위의 의견들에서 아직 알려진 장벽 (상대화, 대립 화, 자연적 증거)을 피하는 것으로 언급 한 사람은 없다고 생각합니다 ). 그 가치에 관해서는-우리가 100 년이 걸리 더라도이 각도에서 그것을 연구함으로써 복잡성에 관한 새로운 것을 배울 것이라고 생각합니다.$P \neq NP$

2. • GCT에서 발생하는 대수 품종, 표현 및 알고리즘 문제를 이해하는 데 약간의 진전이 이루어지고 있습니다. 내가이 일을 수행 한 사람을 아는 주요 연구원은 다음과 같습니다 (P. Burgisser, C. Ikenmeyer, M. Christandl, JM Landsberg, KV Subrahmanyan, J. Blasiak, L. Manivel, N. Ressayre, J. Weyman, V. Popov, N. Kayal, S. Kumar 및 K. Mulmuley 및 M. Sohoni.

   • 보다 구체적으로, Burgisser와 Ikenmeyer는 방금 (STOC 2011) GCT 접근법 ( 을 사용하여 현재 가장 잘 알려진 ). 이러한 하한은 새로운 경계가 아니지만 GCT에 존재한다고 가정 된 이론 이론적 객체가이 모델 문제에 대한 이러한 하한에 대해 존재한다는 점에서 적어도 개념 증명을 제공합니다.$n^2 + 2$$\frac{3}{2}n^2 +O(n)$

   • N. Kayal은 한 다항식이 다른 다항식의 궤도에 있거나 다른 다항식 일 때의 알고리즘 테스트 문제에 대한 몇 가지 논문을 가지고 있습니다. 그는 일반적으로 이러한 문제는 NP-hard이지만 영구, 결정 및 기본 대칭 다항식과 같은 특수 기능의 경우 P에서 이러한 문제를 결정할 수 있음을 보여줍니다. 클로저 -결정자와 같은 특수 기능을 위해 P에 있습니다).

3. 나는 2에 ​​대한 대답보다 이것에 대해 더 구체적으로 말하지 않습니다.

4. 내가 아는 한 근본적인 비판 은 없었으며 , 어떤 식 으로든 프로그램을 실제로 비판하는 비판을 보지 못했다는 의미에서. 그러한 기술이 왜 필요한지, 오랜 지평이 주어진 프로그램의 가치 등에 대해 분명히 논의되었지만, 나는 이것들을 근본적인 비평보다 건전한 논의로 더 특징 지을 것입니다.

나는 Ketan D. Mulmuley 의이 기사가 적어도 P.NP 와 기하학적 복잡성 이론에 관한 질문 # 1 (아마도 2)에 대답 할 것이라고 생각합니다.