컴퓨터가 무언가를 증명하는 것이 왜 그렇게 어려운가?

이것은 어리석은 질문으로 간주 될 수 있습니다. 나는 컴퓨터 과학 전공이 아니며 (그리고 아직 수학 전공도 아닙니다) 다음 질문에 몇 가지 잘못된 잘못된 가정이 있다고 생각한다면 실례합니다.

Fermat의 마지막 정리를 공식화 할 계획이 있지만 (이 프레젠테이션 참조 ) 나는 컴퓨터가 피타고라스와 같은 "단순한"정리를 증명할 수 있다는 것을 읽거나들은 적이 없습니다.

왜 안돼? "내장 된 공리"에 의해서만 컴퓨터에 의해 완전 자율적 증거를 확립하는 데있어 주요 어려움 (/ ies)은 무엇입니까?

두 번째로 묻고 싶은 질문은 다음과 같습니다. 왜 많은 증거를 공식화 할 수 있습니까? 현재 컴퓨터가 스스로 정리를 증명하는 것은 불가능합니까? 왜 "어려워"?

Fermat의 마지막 정리를 공식화 할 계획이 있지만 (이 프레젠테이션 참조) 컴퓨터가 피타고라스와 같은 "단순한"정리를 증명할 수 있다는 것을 읽거나들은 적이 없습니다.

1949 년 Tarski는 The Elements의 거의 모든 것이 실제 폐쇄 필드에 대한 1 차 이론의 결정 가능성을 보여줄 때 결정 가능한 논리 조각 안에 있음을 증명했습니다 . 피타고라스의 정리는 특별히 어렵지 않기 때문에 많은 이야기를하지 않습니다.

일반적으로 정리를 어렵게 만드는 것은 귀납입니다. 사실 공식 : 유도없이 일차 로직은 subformula 속성이라는 매우 유용한 특성이 있습니다 만 하위 용어와 관련된 증거가 을 . 이것은 그들이 증명하도록 지시 된 정리의 분석에 기초하여 다음에 무엇을 증명할 것인지 결정할 수있는 정리 증명자를 구축 할 수 있다는 것을 의미한다. (양자화 인스턴스화는 하위 공식에 대한 올바른 개념을 조금 더 미묘하게 만들 수 있지만 이에 대처할 합리적인 기술이 있습니다.)$A$$A$

그러나 공리에 유도 스키마를 추가하면이 속성이 손상됩니다. 진정한 공식 의 증거 는 구문 상 A 의 하위 공식 이 아닌 증거 B 를 수행해야 할 수도 있습니다 . 이를 종이 증거로 볼 때 "유도 가설을 강화해야한다"고 말합니다. 적절한 강화에는 중요한 도메인 별 정보와 특정 정리를 증명하는 이유에 대한 이해가 모두 필요하기 때문에 컴퓨터로는 수행하기가 매우 어렵습니다 . 이 정보가 없으면 관련없는 일반 포리스트에서 관련 일반화가 손실 될 수 있습니다.$A$$B$$A$

두 가지 주요 어려움. 불완전 성 (고델의 불완전 성 정리 참조)과 넓은 검색 공간 (재미있는 것보다 훨씬 흥미롭지 않은 이론이 있음). 증거 어시스턴트 ( Coq , Isabelle, Agda 등)를 사용하여 상당한 진전이있었습니다 . 이를 통해 수학자는 정리와 정리를 작성하고 교정 보조는 교정을 찾는 데 도움을주고 교정이 논리적으로 유효한지 확인합니다.

$P$$Q$$P\wedge Q$

이 논문 은 교정 보조 Coq가 4 가지 색 정리를 증명하는 데 어떻게 사용되는지를 설명합니다. 기계화 된 수학 ( 개요 )은 (반) 자동적으로 이론을 증명하고 (일반적으로 컴퓨터를 사용하여 수학자를 돕는) TCS의 한 영역입니다.

자동 정리 증명이 영향을 미치는 영역 중 하나는 모델 검사 및 모델 찾기입니다. 모델 검사는 주어진 시스템이 주어진 속성을 만족시키는 지 여부를 결정하는 반면, 모델 찾기는 주어진 속성 모음을 만족시키는 시스템을 찾습니다. 합금 도구는 모델 검사 및 모델 찾기를 사용하여 효과가 뛰어나며 매우 유용합니다.