AC0 함수의 공식 크기 하한

의문:

AC ⁰ 의 명시 적 함수에 대해 가장 잘 알려진 공식 크기 하한은 무엇입니까 ? 하한이 인 명시 적 기능이 있습니까? $\Omega(n^2)$

배경:

대부분의 하한과 마찬가지로 수식 크기의 하한은 구하기 어렵습니다. 표준 범용 게이트 세트 {AND, OR, NOT}에 대한 공식 크기 하한에 관심이 있습니다.

이 게이트 세트에서 명시 적 함수에 대해 가장 잘 알려진 공식 크기 하한은 Andreev에 의해 정의 된 함수에 대해 입니다. 이 범위는 Håstad에 의해 보여졌으며 Andreev의 의 하한을 개선했습니다 . 또 다른 명시적인 하한 은 패리티 함수에 대한 Khrapchenko의 하한입니다. $\Omega(n^{3-o(1)})$ $\Omega(n^{2.5-o(1)})$ $\Omega(n^2)$

그러나이 두 기능은 AC ^0에 없습니다 . AC ⁰ 에서 2 차 (또는 더 나은) 하한을 갖는 명시 적 함수를 알고 있는지 궁금합니다 . 내가 알고있는 최선의 경계는 Nechiporuk가 보여주는 것처럼 요소 구별 기능에 대한 하한입니다. 요소 구별 기능은 AC ⁰ 에 있으므로 보다 나은 명시 적 AC ⁰ 기능 , 바람직하게는 에 대한 하한을 찾고 있습니다. $\Omega(n^2/\log n)$ $\Omega(n^2/\log n)$ $\Omega(n^2)$

더 읽을 거리 :

이 주제에 대한 훌륭한 자료는 Stasys Jukna의 "Boolean Function Complexity : Advances and Frontiers"입니다. 책 초안은 그의 웹 사이트에서 무료로 구할 수 있습니다.

— 로빈 코타 리
소스

대한 superlinear lowerbounds의 부족에 대한 이유 수

기능에 대한 자기 환원성의 일종

기능? 즉, 만약 우리가

하한 을 가지고 있다면 (여기서

는 깊이에 의존하지 않습니다), 우리는 초 폴리 하한을 얻습니다.

A C^{0}

$AC^0$

A C^{0}

$AC^0$

n^{1 + ϵ}

$n^{1+\epsilon}$

ϵ

$\epsilon$

— Kaveh

@Kaveh : 잘 모르겠습니다. 우리는 이미

(요소 구별) 의 함수에 대해

하한을 가지고 있습니다.

Ω (n^{2} / \log n)

$\Omega(n^2/\log n)$

A C^{0}

$AC^0$

— Robin Kothari 2016 년

죄송합니다. 슈퍼 리니어를 슈퍼 2 차로 바꾸십시오.

대한 Allender-Koucky 결과와 비슷한 것을 의미합니다 .

의 지수 가 더 클 수 있습니다. 이러한 결과는

함수의

하한값 을 찾기 어려운 이유를 설명 할 수 있습니다.

T C^{0}

$TC^0$

A C^{0}

$AC^0$

A C^{0}

$AC^0$

A C^{0}

$AC^0$

— Kaveh

Turing

감소 하에서

에 대해 완료된 모든 문제는 자기-환원 가능하지만 자기-환원의 크기가 다 항적으로 클 수 있기 때문에 내가 기대했던 것을 나타내지 않는 것 같습니다.

A C^{0}

$AC^0$

N C^{0}

$NC^0$

— Kaveh

답변:

좋은 질문입니다! Khrapchenko는 함수에 대해 2 차 하한을 제공 할 수 없습니다 . 그의 하한은 사실 적어도 평균 감도의 제곱입니다. 모든 함수 는 다 로그 평균 감도를 갖습니다. Subbotovskaya-Andreev는 또한 그들이 사용하는 주장 (임의 제한으로 인해 훨씬 더 작은 공식이 발생 함)이 큰 회로 크기를 강요하는 이유이기 때문에 그러한 기능을 제공 할 수 없습니다 . Hastad 's Switching Lemma (잘 모르겠 음, 직관). 유일한 희망은 Nechiporuk입니다. 그러나 그의 주장은 이상을 줄 수 없다 $AC^0$ $AC^0$ $AC^0$ $n^2/\log n$ 정보 이론적 이유에 의해. 그렇다면 모든 것이 2 차 (또는 더 작은) 크기의 공식을 가질 수 있습니까? 나는 그것을 믿지 않지만 빨리 반례를 찾을 수 없었습니다. $AC^0$

$2n$ $n\times n$ $G$ $V=\{1,\ldots,2n\}$ $a$ $i$ $j$ $i\leq n$ $j>n$ $a$ $i$ $j$ $G$ $G$ $n^{\epsilon}$ $\Sigma_3$ $n^{1/2}$ $2m=2\log n$ $n^{\epsilon}$

— 스타 시스
소스

cstheory에 오신 것을 환영합니다. :) (btw, 당신의 새로운 책 은 매우 흥미롭게 보입니다, 불행히도 저는 영어 원어민이 아니므로 그것을 교정하는 데 도움을 줄 수 없습니다.)

— Kaveh

실제로, 내용 / 참조 등에 대한 의견 / 비평도이 시점에서 매우 중요합니다. 현재 버전은 여기에 있습니다 . 사용자 : 친구 비밀번호 : catchthecat

— Stasys

감사합니다 :) 저는 제안 증명의 복잡성에 관한 마지막 장을 읽으려고합니다.

— Kaveh

A C^{0}

$AC^0$

Ω (n^{2})

$\Omega(n^2)$

증거 복잡성에 대한 장을보고자하는 Kaveh에게 감사합니다!

$AC^0$ $n^k$ $k$ $AC^0$ $AC^0$ $\exp(n^k)$ $k$ $\exp(t\log n)$ $t$ .

$n^2$ $n$ $F(X)=f(g(X_1),\ldots,g(X_b))$ $b=\log n$ $g$ $AC^0$ $n/b$ $f$ $b$ $f$ $g$ $k$ $X$ $g$ $g$ $2$ $3/2$ $F(X)$ $n^3/k^2$ $AC^0$ $n^{1/d}$ $d\geq 2$ $n^2$ $AC^0$ $n^{1/2}$ 변수. 그러한 기능을 2보다 큰 깊이로 검색해야합니다.

$F(X)$ $n^2/\log n$ $n/b$

$F(X)$ $s$ $X_i$ $g(X_i)$ $n/b$ $s$ $n/b=n/\log n$ $2^b/\log b=n/\log\log n$ $f$ $s\geq n^{2-o(1)}$

$n^2$ $(d+1)$ $d$

— 스타 시스
소스