폴리 토프 (정확한) 확장기의 모서리 정점 그래프는?

이 질문은 다항식 허쉬 추측 (PHC)에서 영감을 얻었습니다. 에 facet polytope 가 주어지면 의해 하한의 정점 그래프 ( 라고 부름)의 스펙트럼 갭이 있습니까? 꼭지점 의 사이클 그래프 는 조차도 스펙트럼 갭이 만큼 작을 수 있음을 보여줍니다 . 따라서 추측 된 경계는 사실이라면 거의 빡빡 할 것입니다.P R d G Ω ( 1 / p o l y ( n ) ) n d = 2 O ( 1 / p o l y ( n ) $n$$P$$\mathbb R^d$$G$$\Omega(1/\mathrm{poly}(n))$$n$$d=2$$O(1/\mathrm{poly}(n))$

대답은 PHC를 의미합니다. 실제로, 이것은 폴리 토프 정점을 무작위로 걸어서 선형 프로그램을 효율적으로 해결할 수 있음을 의미하며,이 알고리즘은 목적 함수에 많은 관심을 기울이지 않습니다! 이것은 사실이 너무 좋은 것 같습니다.

그렇다면이 문제의 상태는 무엇입니까 : PHC와 같은 개방 또는 거짓? 거짓이면 간단한 예가 있습니까?

참고 : 확장기 정의와 관련된 일반적인 합병증에 대해 방금 깨달았습니다. 는 규칙적이거나이 분할 필요는 없습니다. 이 두 가지 기술적 문제가 표준 방식으로 극복 될 수 있기를 바랍니다. 특히 그들이 내 질문을 사소하게 만들지 않기를 바랍니다. (내가 틀렸다면 나를 정정하십시오!)$G$

0 / 1- 폴리 토프 (모든 정점 좌표가 0 또는 1) 인 경우에는 이것이 사실이 아닙니다. Mihail과 Vazirani는 0 / 1- 폴리 토프 그래프의 가장자리 확장이 적어도 하나라는 추측이 있습니다. 자세한 내용은 Volker Kaibel의 논문에 설명되어 있습니다.

두 가지에 주목해야합니다. (1) 0 / 1- 폴리 토프의 경우 허쉬 추측은 사실 입니다. (2) 폴리 토프의 정점을 무작위로 걸을 때 가능한 퇴행성을 처리해야합니다. 하나의 꼭짓점은 많은 기준점에 해당 할 수 있으므로 기준점을 무작위로 걷는 경우 도보는 동일한 정점을 유지할 수 있습니다. 정점을 무작위로 따라 가려면 임의의 인접 정점을 제공하는 절차가 필요합니다.

일반적으로 사실이 아닙니다 : 각각 n 개의 패싯을 갖는 2 개의 이중-대-사이 클릭 d- 폴리 토프를 고려하여 정점을 따라 병합하십시오. (이것은 두 개의 포 테이프를 접착하는 이중 작업입니다). 꼭짓점의 수는 와 같으며 스펙트럼 간격은 이보다 약 1이됩니다. (d 모서리를 사용하여 그래프를 두 부분으로 분리 할 수 ​​있습니다.$n^{[d/2]}$

"이중 대 이웃"폴리 토프에 대한 1 / poly (n) 분리를 입증했습니다. (이것은 다항식 Hiresch 추측에서 처음 촬영 한 것입니다. ""볼록 폴리 토프 및 f- 벡터 이론의 그래프 직경 "응용 기하학 및 이산 수학, 387–411, DIMACS Ser. Discrete Math. Theoret. Comput. Sci. , 4, Amer. Math. Soc., RI, 1991.