정수의 요소 수를 계산하는 것이 얼마나 어렵습니까?

정수 주어 길이 비트의 그것 (또는 대안 적 요소의 수) 소인수의 수가 출력 얼마나 어려운가 ? $N$ $n$ $N$

소인수 분해를 알고 있다면 이것은 쉬울 것입니다. 그러나 소인수 또는 일반적인 수를 알고 있다면 실제 소인수 분해 방법을 어떻게 알 수 있는지 명확하지 않습니다. $N$

이 문제가 연구 되었습니까? 소인수 분해를 찾지 않고이 문제를 해결하는 알려진 알고리즘이 있습니까?

이 질문은 호기심과 부분적으로 math.SE 질문에 의해 유발됩니다 .

소인수의 수가 많으면 N이 쉽게 구할 수있는 작은 요소가 있음을 의미합니다. 반면, N의 소인수의 수가 적 으면 (2), 두 개의 소인수를 인수 분해하는 문제와 유사하며 요인의 수가 2라는 것을 아는 것은 도움이되지 않는 것 같습니다. 평균 경도에 대해서는 Omid의이 질문을 참조하십시오 .

— Kaveh

부문 유니폼 때문에 한가지 더,

, 모든 요소 (단지 주요 요인) 계산의 문제에

따라서도이다

(및도 아마 완료

에서

감소).

T C^{0}

$\mathsf{TC^0}$

# T C^{0}

$\mathsf{\#TC^0}$

P

$\mathsf{P}$

# T C^{0}

$\mathsf{\#TC^0}$

A C^{0}

$\mathsf{AC^0}$

— Kaveh

Kaveh, 위의 주석을 답변으로 확장 할 수 있다면 좋을 것입니다.

나눗셈 이 팩토링이

에 있음을 암시하지 않고

계수를 계산 하는 방법을 정확히 알지 못합니다 . 이 오해는 내 실패로 인한 것일 수 있지만보다 자세한 답변이 도움이 될 것입니다.

{TC}^{0}

$\text{TC}^0$

# {TC}^{0}

$\#\text{TC}^0$

{TC}^{0}

$\text{TC}^0$

— 데릭 스토리

알려진 AFAIK! 그리고 이것은 너무 쉽습니다. 그러나 나는 논쟁이 어디에서 일어나는지 알지 못한다. 추신 : 나는 내가 알고있는 것 같아,

에 대한 나의 정의는 좋지 않다 (그것은

와 동일하다 ). 그리고 그것은 문제이다.

# T C^{0}

$\mathsf{\#TC^0}$

# P

$\mathsf{\#P}$

— Kaveh

@Artem는

의 수용성 경로의 수를 의미

기계, 및

기계 (대수 만 사용

) 추측 공간 량

. 우리는 내가 쓴 정의, 사용하는 경우 우리는 너무 많은 비트를 추측하는

캡처 것 다항식 많은 추측과 계산을

유사의 수를 계산,

것을의 다항식의 크기를

기계가 그들에게 줄 것이다에 받아

# L

$\mathsf{\#L}$

N L

$\mathsf{NL}$

N L

$\mathsf{NL}$

| y |

$|y|$

x

$x$

A C^{0}

$\mathsf{AC^0}$

N P

$\mathsf{NP}$

x

$x$

A C^{0}

$\mathsf{AC^0}$

# P

$\mathsf{\#P}$ (계산도 추측하고 실제로 수용 가능한 계산인지 확인하십시오).

— Kaveh

답변:

이것은 내 대답이 아니지만 Terrence Tao는 MathOverflow 에서이 질문에 대한 아름다운 답변 을주었습니다.

그의 대답의 처음 몇 줄이 있습니다. 완전한 답변을 읽으려면 링크를 따르십시오.

정수 n의 소수 요인을 빠르게 계산할 수 있다면 n을 빠르게 인수 분해 할 수 있다는 민속적인 견해가 있습니다. 따라서 카운팅-프라임 팩터 문제는 그 자체를 팩토링하는 데 필적 할만한 어려움이 있다고 믿어집니다.

(나는 이것이 대답인지 의견인지 확실하지 않다. 그러나 그것은 나에 의해 쓰여지지 않았지만 실제로는 답이다. 나는 커뮤니티 Wiki를 불필요하게 반대하거나지지하지 않도록 대답했다. 나에게 명성을 줘.)

— 로빈 Kothari의
소스

내 의견으로는, 이와 같은 답변에 대한 포인터는 평판 포인트를 가질 가치가 있기 때문에 (커뮤니티 위키가 아니어야 함) 다른 사람들은 다른 견해를 가지고 있음을 이해합니다.

— 이토 쓰요시

그러나 이것은 공식적인 축소가 아닙니다 ....

— arnab

@arnab : 아뇨. 그는 "다음 한 것이다 쓴 이유입니다 가능성이 높습니다 . 빨리 요인에 n 개의 완전 수"

— 츠요시 이토

다른 사람들이 말했듯이, 계수를 계산하려면 아마도 인수 분해 n이 필요할 것입니다. 그러나 시험 분할은 여러 가지 요소를 묶을 수 있습니다. 당신은, 예를 들어, 알고 기껏가 어떤 요인이 경우 테스트함으로써 적은 2 이상있을 수 있기 때문에, 요소 , 당신은 또한 알고 2로 나누어 최대가 요소 등을 단점은 각각의 크기 감소가 점진적으로 어렵다는 것입니다.- 이상을 포함 하는 을 배제하려면 최대 까지 테스트해야합니다 $N$ $n$ $N$ $N$ $\log_3(N)$ $N^{1/p}$ $N$ $p$ 입니다. 요인을 .

— 푸 바리 그노
소스