무한 필드에 대한 텐서 순위의 복잡성

텐서 벡터 및 높은 치수 및 행렬의 일반화 순위 텐서의도 행렬의 랭크를 일반화한다. 즉, 텐서의 랭크 계수의 최소 하나의 텐서로 합, 즉 . 벡터와 행렬은 각각 차수 1과 2의 텐서입니다. $T$ $T$

의 요소는 필드에서옵니다 . 경우 유한하고 Håstad은 입증 정도 3 텐서의 순위가 가장에 있는지 결정하는 것을 NP 완전하지만 때 유리수 같은 무한 필드 그는 상한선을 두지 않는다. $T$ $\mathbb{F}$ $\mathbb{F}$ $r$ $\mathbb{F}$ $\mathbb{Q}$

질문 : 대한 3 차 텐서 의 순위 가 최대 인지 결정하는 복잡성에 대해 가장 잘 알려진 상한은 무엇입니까 ? $T$ $\mathbb{Q}$ $r$

— 타이슨 윌리엄스
소스

ℚ에 대한 3도 텐서의 순위가 ℝ에 대한 동일한 텐서의 순위와 동일합니까? 그렇다면, 문제는 실존주의 실존 이론의 특별한 경우로 공식화 될 수 있으므로 PSPACE에 있습니다.

— 이토 쓰요시

previous에 대한 3도 텐서의 순위가 때때로 ℝ에 대한 동일한 텐서의 순위와 다르기 때문에 이전 주석의 아이디어가 작동하지 않습니다. {x, y}를 2 차원 벡터 공간의 기초로하고 텐서 2x⊗x⊗x + x⊗y⊗y + y⊗x⊗y + y⊗y⊗x를 고려하십시오. ℝ에 대한 순위가 2이지만 over에 대한 순위가 2보다 크다는 것을 알기는 어렵지 않습니다. (이 예는 Kruskal 1989 에서 over 이상의 순위가 ℂ 이상의 순위와 다를 수 있음을 보여주는 예를 수정하여 얻은 것 입니다.

— Tsuyoshi Ito

이토 츠요시 전적으로 동의합니다. 나는 또한 상한을 찾을 수 없습니다.

— 타이슨 윌리엄스

복잡성 전에 계산 가능성을 묻는 것이 낫다고 생각합니다.

— 이토 쓰요시

사소한 상한은 Håstad도 같은 논문에서 문제가 보다 임을 증명합니다 . 다음과 같은 더 일반적인 문제는 ce-complete입니다. 부분적으로 채워진 텐서가 있으면 순위가 완성이 있습니까?

N P - h a r d

$\mathsf{NP\text{-}hard}$

Q

$\mathbb{Q}$

\leq r

$\leq r$

— Kaveh

답변:

: 이것에 대해 최근 프리 프레스가 http://galton.uchicago.edu/~lekheng/work/np.pdf은 . 텐서와 관련된 대부분의 순위 관련 문제는 및 보다 NP가 어렵다는 것을 보여줍니다 . (또한 이상의 순위를 결정하는 것은 NP가 어렵다고 언급합니다 .) $\mathbb{R}$ $\mathbb{C}$ $\mathbb{Q}$

— 바트
소스

바트, 그 프리 프린트 (Hillar and Lim)는 훌륭합니다. 대단히 감사합니다.

— 존 사이들

좋은. 그러나이 문장을 이해하지 못합니다. "Håstad의 결과가 및 _q에 적용되는 동안 이러한 필드 선택은 위의 문제 중 하나를 제외하고 모두에게 의미가 없습니다 (예외는 이 방정식은 절대 값을 갖는 특성 0의 전체 필드에 대해서만 잘 정의 된 분석 문제이므로 이러한 방정식 중에서 및 는 응용 분야에서 가장 일반적입니다. 우리는 토론을이 분야로 제한 할 것입니다. "

Q

$\mathbb{Q}$

F_{q}

$\mathbb{F}_q$

R

$\mathbb{R}$

C

$\mathbb{C}$

— 타이슨 윌리엄스

위 인용문에서 언급 된 문제 중 하나가 순위입니다. 이 저자들은 텐서의 순위가 대해 잘 정의되어 있지 않다고 말하고 있습니까?

Q

$\mathbb{Q}$

— 타이슨 윌리엄스

@Tyson : 필자는 많은 수치 적용 (부분 미분 방정식, 신호 처리)에 대해 또는 에서 계산을 원한다고 생각합니다 . 수치 분석가이기 때문에 에 많은 응용 프로그램이 정의되어 있지 않습니다 . 그들은 에 순위가 잘 정의되어 있지 않다는 것을 의미하지는 않습니다 .

R

$\mathbb{R}$

C

$\mathbb{C}$

Q

$\mathbb{Q}$

Q

$\mathbb{Q}$

— Bart

이것이 실제로 유일한 답 이었지만 (John은 그의 의견이라고 말했기 때문에)이 대답은 다른 중요한 무한 필드 (실제 및 복합체)보다 경도를 나타내는 참조를 제공했기 때문에 현상금이 가치가 있다고 생각합니다. 내 질문의 제목에서 알 수 있듯이, 나는 일반적으로 무한한 분야에 대해 궁금하지만 특정 답변이있는 질문을하기 위해 합리적인 이유에 대해 묻기로 결정했습니다. 누군가가 상한을 제공 할 수 있거나 계산할 수 없다는 것을 보여 주면 여전히 다른 질문을 받아 들여질 것입니다.

— Tyson Williams

이 책의 계산 복잡도의 관점 다음 소메 나스 비스와 스 주년 기념 볼륨 올 여름 발표 (2014 년 7 월) 주로 우리가 여기에 도달하는 합의에 동의합니다. 에 199 페이지 , 그것은 말합니다 :

내가 아는 한, 이상의 [텐서 순위 계산 문제]를 결정할 수 있는지조차 알 수 없습니다. 이상 에서는 상황이 다소 나아집니다. 문제는 현실의 실존 이론으로 축소 될 수 있기 때문에 결정 가능하고 심지어 PSPACE에서도 가능합니다. $\mathbb{Q}$ $\mathbb{R}$

— 타이슨 윌리엄스
소스

최근의 사전 인쇄판 에서도이를 확인합니다 : arxiv.org/pdf/1612.04338v1.pdf . (3 페이지의 표 참조)

— 헉 베넷에게

참고 : 주석으로 의도 아래의 텍스트는 ... 그것은 확실히 하지 밖으로 발생에 대한 답변이 아니라 실용적인 관찰 찰리 Slichter의의 재 작성 자기 공명의 원리 이는 다시 끌어 (사교 기하학과 양자 정보 이론의 언어로 자연스럽게 다항식 텐서-제품 상태 공간에). 현재 우리는 이러한 텐서-랭크 방법에 대한 부분적인 기하학적 이해 , 한계 양자 정보 학적 이해, 본질적으로 복잡성 이론적 또는 조합 적 이해가없고, 실용적 (그러나 대부분 경험적) 계산적 이해가 있습니다.

우리는이 이해를 넓히고, 깊게하고, 통합하는 데 매우 관심이 있으며, 다른 사람들이이 주제에 대한 추가 답변 / 의견을 게시하기를 바랍니다.

우리의 실제 계산 경험은 이상의 순위를 추정 하는 것이 가장 가파른 하강 방법으로 일반적으로 다루기 쉽다는 것입니다 ... 우리가 이해하는 바와 같이, 이러한 견고성은 기하학적 이유, 즉 Goldberg와 Kobayashi의 동형 단면 곡률 정리로 인해 발생합니다. . 이것은 말할 것도없이 엄격한 증거와는 거리가 멀다.

C

$\mathbb{C}$

— 존 사이들
소스

이 정리는 쉽게 설명 할 수 있습니까? 그렇지 않은 경우 좋은 진술과 설명에 대한 링크를 제공 할 수 있습니까?

— 타이슨 윌리엄스

@Tyson : John이 정리 문제가 아니라 문제의 사례를 해결 한 경험에 대해 이야기하고 있다고 생각합니다.

— Joe Fitzsimons

당신은 그에게 정리에 대해 물었고, 그는 정리에 대해 이야기하지 않는 것 같습니다. 당신이 그를 오해했다고 생각 했어요

— Joe Fitzsimons

실제로, 나는 의견을 게시했다고 생각하고 답변으로 나타나는 것을보고 놀랐습니다. 도! 방금 참조를 추가하기 위해 편집했지만 여전히 만족스러운 답변과는 거리가 멀습니다. 타이슨 윌리엄스의 좋은 질문! :)

— John Sidles

@Joe 그는 Goldberg와 Kobayashi의 동형 이분 곡률 정리를 언급했기 때문에 그에 대해 물었습니다. 그것이 내가 그를 오해했는지의 여부를 확신하지 못한다.

— 타이슨 윌리엄스