DFA 크기의 함수로서 일반 언어의 동등성 클래스 수

이 질문은 관련이 최근 문제 로 Janoma .

배경

제약 프로그래밍에있어서, 일반 글로벌 제약 도메인을 통해 한 쌍 과 변수 튜플 (범위) 및 도메인 위에 DFA . 과제 에 만족 경우 문자열을 수락 .$c$$D$$(s, M)$$s$$M$$D$$\theta$$s$$c$$M$$\theta(s_1)\theta(s_2)\ldots\theta(s_n)$

아래에서는 도메인 가 고정되어 있다고 가정합니다 . 모든 DFA 대해 또는 경우 가 되도록 문자열 대해 등가 관계 을 정의합니다. . 직관적으로, DFA에서 구분할 수없는 경우 두 문자열이 동일합니다. 그것이 사실이라면, 그들은 또한 동일한 규칙을 만족시킵니다 .$D$$\sim$$T = D^{|s|}$$a \sim b$$M$$a, b \in L(M)$$a, b \not\in L(M)$

우리가 어떤 방법으로 DFAS, 등가 클래스의 다음 세트를 제한하지 않는 경우 그냥 자신을. 나는 등가 클래스 wrt의 수에 관심이 있습니다. 우리가 DFA에 허용하는 상태 수 의 함수로서의 . 명백하게, 만약 다음 (상수 무시). (물론 여기서 은 그 자체가 의 함수입니다 .)$T/{\sim}$$T$$\sim$$n$$n = |D|^{|s|}$$|T/{\sim}| = |T|$$n$$|s|$

질문

1. 작은 무엇입니까 을위한?$n$$|T/{\sim}| = |T|$
2. 그 아래에 무슨 일이? 특히,
   • 거기에있는 등이 ?$n$$|T/{\sim}| = O(|s|^{|D|})$
   • 거기에있는 등이 ?$n$$|T/{\sim}| = O(|s| \times |D|)$

이 질문에 대한 나의 동기는 이와 같은 다항식 ( ) 수의 등가 클래스 를 가짐 으로써 카디널리티 제약 조건에 제약 조건 문제가 발생하기 쉽다는 것입니다. 나는 이제 이러한 제약 조건에 대해 이러한 선을 따라 무언가를 수행 할 수 있는지 확인하려고합니다.$|s|^{|D|}$

편집 : 또한 참고 이 대답 하여 헤르만 그루버 상단 참조 질문에. 논문의 답변 링크의 경계는 질문 1에 대한 답변이 이어야 하는 산출 해야 하지만 나에게는 분명하지 않습니다.$k$$\geq k$

질문 1에 대한 답변

작은 무엇 에 대한이?$n$$|T/{\sim}|=|T|$

우리는 여기서 는 가장 작은 수입니다. 및 중 하나만 허용하고 다른 하나는 허용하지 않는 모든 DFA의 상태입니다 . 에서 가장 잘 알려진 상한 은 다음과 같습니다 ( Jeffrey Shallit의 일부 슬라이드 참조 ).

$n=O(s^{2/5}(\log s)^{3/5})$ .

에서 얻은

Robson, JM , 작은 오토마타로 문자열 분리 , Inf. 방법. 레트 사람. 30, No. 4, 209-214 (1989). ZBL0666.68051 .