무작위 표본에서 Kolmogorov 복잡성의 예상 값

Kolmogorov 문자열의 복잡성은 계산할 수 없습니다. 그러나, 사이즈의 임의의 서브 세트에서 길이의 이진 스트링의 , 얼마나 적은 일부 정수보다 복잡성을 가질 것으로 기대된다 이하 (의 함수로서 , 및 )?$M$$n$$n_{0}$$n$$M$$n$$n_{0}$

Kolmogorov의 복잡성은 부가적인 상수까지만 결정되므로 정확한 답을 줄 수는 없습니다. 여기서 설명하는 범위는 훨씬 약합니다.

물론 얼마나 많은 문자열이 보다 작은 복잡성을 가지고 있는지 알고 나면 예상 수를 쉽게 계산할 수 있습니다 . 일반적으로 Kolmogorov의 복잡성에 대한 첫 번째 진술은이 수가 최대 이라는 것입니다. 길이가 더 작은이 문자열 만 많기 때문입니다. 반면에, 프로그램이 "길이 의 번째 숫자를 취함 "이라고하면 보다 작은 문자열을 . 여기서 은 Kolmogorov의 프리픽스 프리 버전 복잡성 (최대$2^n$$n_0$$2^{n_0}-1$$n$$x$$2^{n_0-K(n)-C}$$n_0$$K(n)$$n$$\log n+\log^* n + O(1)$). 구체적으로는, 문자열은 제 입력 촬영하는 튜링 기계의 설명 포함 p가 출력하는 프리픽스없는 프로그램에 대한 설명이고, 은이 출력 길이 일 수 이고, 비트 그런 다음 가 뒤에옵니다 .$px$$n$$x$$n$$O(1)$$px$

아마도 이러한 범위를 향상시킬 수는 있지만 정확한 답변을 얻을 수 있을지는 의문입니다.

정확한 답을 줄 수 있습니다. 최대 (일반) 복잡도를 갖는 길이 의 문자열 수 는 이며 상수까지입니다. 따라서 무작위로 부분 집합을 선택하는 프로세스는 합리적인 확률로 미만의 복잡도의 문자열의 부분을 . 우리의 주장을 보여주기 위해, 와 같은 복잡성을 갖는 스트링의 수 또한 주어짐 을 보여 주면 충분합니다 . 1에서 까지 대한이 값의 합을 결정하여 필요한 결과를 보여줄 수 있습니다.$n$$n_0$$2^{n_0 - K(n_0|n)}$$2^{-K(n_0|n) + O(1)}$$n_0$$k$$2^{k - K(k|n)}$$k$$n_0$. 이를 표시하기 위해, 우리는 (. 인해 B. Bauwens 및 A. 쉔에 보통 복잡성하는 가산 결과를 이용해 일반 콜 모고 로프 복잡도에 대한 가산 정리 :. 297-302 2013 2월 컴퓨팅 시스템의 이론, 52 (2)) 여기서 접두사가없는 Kolmogorov 복잡성을 나타냅니다. 선택하면 복잡성 의 각 비트 문자열 에 대해 따라서 이러한 각 대해 입니다. 하자

$$C(a,b) = K(a|C(a,b)) + C(b|a,C(a,b)) + O(1).$$ $K(\cdot)$$a = n$$n$$b$$k$ $$k = C(b) = C(n,b) + O(1) = K(n|k) + C(b|n,k) + O(1).$$ $b$$C(b|n,k) = k - K(n|k)+O(1)$$k' = k - K(n|k)$. 이제 그러한 문자열 가 최대 이고, 길이가 사전 순으로 첫 번째 문자열 각각이 만족 한다는 것을 알 수 있습니다 . 따라서 는 시킵니다.$O(2^{k'})$$b$$2^{k'}$$n$$C(b|n,k) \le k' + O(1)$$\Omega(2^{k'})$$C(b|n,k) = k' + O(1)$