다면체를 균등하게 분할하는 절단면 찾기

표준 형태의 다면체가 있다고 가정 해보십시오.

\begin{aligned} A x = b \\ x \geq 0 \end{aligned}

$\begin{equation*} \begin{array}{rl} \mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b} \\\\ \mathbf{x} \ge 0 \end{array} \end{equation*}$

하이퍼 플레인의 각면에있는 정점의 수가 거의 같은 방식으로 다면체를 분할 하는 하이퍼 플레인 을 찾는 알려진 방법 이 있습니까? (즉, 분할의 양쪽에서 정점 카디널리티의 절대 차이를 최소화하는 알고리즘). $\mathbf{d} \mathbf{x} +d_0= 0$

또한이 문제의 복잡성과 관련하여 알려진 결과가 있습니까?

부록 : 절단 유형 제한 :

다음은 원래 문제보다 해결하기가 더 쉬울 것이라는 원래 문제의 변형입니다.

형식의 초평면이 어떤 좌표 에 대해 분할의 양쪽에서 가장 낮은 정점 카디널리티 차이를 산출 할 수있는 효율적인 계산 또는 추정 방법이 있습니까? 효율적이라는 것은 가능한 모든 분할에 대한 정점 카디널리티의 철저한 열거보다 더 효율적인 것을 의미합니다. $i$ $d_ix_i + d_0 = 0$

참고 : 며칠 동안 약간의 발전이 있은 후에도 MathOverflow 에이 질문을 게시했습니다 .

ds.algorithms linear-programming linear-algebra

— Amelio Vazquez-Reina
소스

이것이 NP-hard 문제임을 증명할 수 없어야합니까?

— 피터 쇼어

@Peter에게 감사합니다. 증거는 좋을 것입니다. 즉, 문제가 어렵다고 가정하고 휴리스틱 또는 근사 알고리즘에 더 관심이 있다고 생각합니다. 컷 유형을 제한한다는 아이디어의 배후에는 부분적으로 우리가 이미 솔루션이나 근사 알고리즘을 알고있는 일반적인 문제의 변형이 더 쉬운 지 여부를 확인하는 것이 었습니다.

— Amelio Vazquez-Reina

이 줄을 따라 뭔가 어떻습니까 (작동하는지 확실하지 않음)-최대 이분법 일치 횟수를 세는 것은 # P-hard입니다. 우리는 또한 최대 2 분자 매칭을 찾는 선형 프로그램이 완전히 단일 모듈 식이므로 모든 코너 포인트 / 기본 실행 가능한 솔루션이 필수적이라는 것을 알고 있습니다. 최대 이분법 일치 문제를 찾으려면 일치 값을 찾으십시오. 모든 솔루션이 최적의 값을 가져야한다는 제약 조건으로 선형 프로그램을 구성하십시오. 그런 다음 모든 모퉁이 점이 일치합니다. 반복적으로 균등하게 나눌 수 있다는 것은 일치하는 수를 계산할 수 있어야한다는 것을 의미합니다.

— Opt

신경 쓰지 마. 또한 절단면에 의해 추가 된 정점의 수를 계산할 수 있어야합니다.

— Opt

-2

이 작업을 수행하는 분석 방법을 기억할 수 없습니다!

그러나 이것은 유전자 프로그래밍의 고전적인 문제입니다! 익숙하다면 절단면을 설명하는 다면체 중앙에 정규화 된 벡터를 사용할 수 있습니다.

따라서 모집단은 [x, y, z, ...] 정규화 된 벡터의 집합이며 피팅 함수로 두 스플릿 볼륨의 차이를 사용합니다!

따라서 차이가 0에 더 가깝다면 벡터 / 평면입니다.

— 에두아르도 폰
소스

죄송합니다. 유전자 프로그래밍 언어를 사용하지 않고 다시 말할 수 있습니까? "인구"란 무엇입니까? "피팅 기능"이란 무엇입니까?

— Jeffε