결과

이면 PH 전체가 붕괴 된다는 것을 알고 있습니다. 다항식 계층 구조가 부분적으로 축소되면 어떻게됩니까? (또는 PH가 특정 지점 이상에서 붕괴 될 수 있다는 것을 이해하는 방법은 무엇입니까?)$P=NP$

간단히 말해 및 의 결과는 무엇입니까?$NP=coNP$$P\ne NP$

나에게 의 가장 기본적이고 놀라운 결과 중 하나는 왜 짧은 증거를 가져야하는지 알기가 매우 어려운 수많은 문제에 대한 짧은 증거가 존재한다는 것이다. (이것은 "이 붕괴가 갖는 다른 복잡성 영향은 무엇입니까?"에서 "이 붕괴가 놀라운 놀라운 기본 이유는 무엇입니까?"로 되돌아가는 것입니다.$\mathsf{NP}=\mathsf{coNP}$

예를 들어, 인 경우 Hamiltonian이 아닌 모든 그래프에 대해 해당 사실에 대한 간단한 증거가 있습니다. 3 색이 아닌 그래프의 경우와 유사합니다. 동형이 아닌 그래프 쌍에 대해서도 유사합니다. 모든 제안 타우 톨 로지와 유사합니다 .$\mathsf{NP}=\mathsf{coNP}$

세상에서 같은 세계에 있기 때문에 - 명제 tautologies을 입증에 어려움이 약간 짧은 tautologies 긴 증거를 가지고하지 않습니다 모든 동어 반복이 다항식 짧은 증거를 가지고 -하지만 일부가 오히려 있음 우리가 그러한 증거를 효율적으로 찾을 수없는 다른 이유.$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP} = \mathsf{coNP}$

라고 가정 하면 가설은 무작위 클래스의 붕괴를 유발할 수 있습니다.$\mathsf{NP}=\mathsf{RP}$ . 이것들은 모두 무조건적으로 P 로 붕괴된다고추측되지만어쨌든 그것이 실제로 일어날 지 여부는 여전히 열려 있습니다. 어쨌든, N P = c o N P 는 그 자체로 이러한 무작위 분류가 붕괴되는 것을 암시하지 않는 것 같습니다.$\,\,\mathsf{ZPP}=\mathsf{RP}=\mathsf{CoRP}=\mathsf{BPP}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}=co\mathsf{NP}$

그렇지 않은 경우, 즉 우리는 최소한 가있는 경우 N P = c o N P 가설 과 함께 또 다른 중요한 결과를 초래합니다.$\mathsf{BPP}\neq \mathsf{P}$$\mathsf{NP}=co\mathsf{NP}$ . 이 말한다 Babai, Fortnow 니산 및 Wigderson의 결과로부터 다음이 모든 단항 (탈리) 언어 경우 P H는 에 빠지게 P 후 B P P = P . 따라서 B P P ≠ P 이면 N P = c o N P 가정이 P H = N P를 의미하므로모두 P에 속할 수는 없습니다. 따라서 N P − P 에는 집계 언어가 있어야합니다.$\,\,\mathsf{E}\neq \mathsf{NE}$$\mathsf{PH}$$\mathsf{P}$$\mathsf{BPP}=\mathsf{P}$$\mathsf{BPP}\neq \mathsf{P}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}=co\mathsf{NP}$$\mathsf{PH}=\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}-\mathsf{P}$. 마지막으로, 에서 탈리 언어의 존재는 E ≠ N E 를 의미하는 것으로 잘 알려져있다 .$\mathsf{NP}-\mathsf{P}$$\mathsf{E}\neq \mathsf{NE}$

상기 추론 표시한다는 흥미로운 효과 가설, 붕괴 임에도 불구하고, 실제로는 증폭 분리 전력 B P P ≠ P를 의미하는 것으로 알려져 있지 후자 단독으로, E ≠ N E를 . 이 "변칙적"은 추측 B P P = P 를지지하는 것으로 보인다 .$\mathsf{NP}=co\mathsf{NP}$$\mathsf{BPP}\neq \mathsf{P}$$\mathsf{E}\neq \mathsf{NE}$$\mathsf{BPP}= \mathsf{P}$

이외의 클래스 계산에 대한 두 가지 정의가 있습니다 . 하나는 Valiant에 의해 정의되고 다른 하나는 Toda에 의해 정의되었습니다.${\bf \#P}$

클래스C에 대해#C=∪ A ∈ C (#P) A를 정의하십시오 . 여기서( # P A)는 함수를 의미합니다 가진 비 결정적 다항식 시간 튜링 기계의 수용 경로 계산하는'오라클이야.${ \rm \underline {Valiant's-Definition:}}$$C$$\#C =\cup_{A\in C}(\#P)^{A}$$({\#P}^A)$$A$

Valiant의 정의에 따르면 이미 ${\bf \#NP} = {\bf \#CoNP}$

클래스C에 대해#을정의합니다. C는함수의 클래스 될F일부되도록C-계산할 수 개의 인수 술어R어떤 다항식P모든 문자열에 대한X는 그 보유 :F(X를)=| | {y| p(${ \rm \underline {Toda's-Definition:}}$$C$$\# .C$$f$$C-$$R$$p$$x$및 R ( x , y ) } | | .$f(x)=||\{y|p(|x|)=|y|$$R(x,y)\}||$

Toda의 정의에 따르면 경우에만, N P = C O N P .${\bf \#.NP} = {\bf \#.CoNP}$${\bf NP} = {\bf CoNP}$

그리고 우리는 또한 가정하면 우리가 할 것이다 F P ≠ #의 P를 .${\bf P}\not = {\bf NP}$${\bf FP} \not = {\bf \# P}$

Ker-i Ko k 번째 수준에서 PH가 붕괴되는 오라클이 있음을 보여주었습니다. "Ker-I Ko : 정확히 K 수준의 상대 다항식 시간 계층 구조. SIAM J. Comput. 18 (2) : 392-408 (1989)"를 참조하십시오.