그래프가 주어지면 가장자리 연결이 n / 2 이상인지 여부를 결정하십시오.

Alon and Spencer의 책 Probabilistic Method 1 장은 다음과 같은 문제를 언급합니다.

그래프 주어지면 가장자리 연결이 n / 2 이상인지 여부를 결정하십시오 .$G$$n/2$

저자는 (A)의 존재를 언급 Matula하여 알고리즘 및 그것을 개선 O ( N 8 / 3 로그 N ) .$O(n^3)$$O(n^{8/3}\log n)$

내 질문은이 문제에 대해 가장 잘 알려진 실행 시간은 무엇입니까?

개선 된 알고리즘을 설명하겠습니다.

먼저, 가 최소 n / 2 이상 인지를 결정하십시오 . 그렇지 않다면, 에지 연결은 분명히 n / 2 보다 작습니다 .$G$$n/2$$n/2$

다음으로, 그렇지 않은 경우 크기 O ( log n ) 의 G 의 우세한 세트 를 계산하십시오 . 이것은 책의 이전 섹션에서 설명 된 알고리즘에 의해 시간 O ( n 2 )에 수행 될 수있다 .$U$$G$$O(\log n)$$O(n^2)$

다음으로, 사실을 증명하기가 어렵지 않은 다음을 사용합니다.

최소 차수가 인 경우 V 를 V 1 과 V 2 로 나누는 최대 δ 크기의 모든 모서리 절단에 대해 지배적 인 G 세트는 V 1 과 V 2 모두에 꼭짓점이 있어야합니다 .$\delta$$\delta$$V$$V_1$$V_2$$G$$V_1$$V_2$

이제 지배적 인 세트 . 이후 G가 최소치 갖는 N / 2 이하의 임의의 크기의 커팅 에지보다 N / 2는 또한 분리해야 U를 . 따라서 각 i ∈ { 2 , k } 에 대해 u 1 과 u i 를 분리하는 가장 작은 모서리 컷의 크기를 찾습니다 . 이러한 각 작업은 시간 O ( n 8 / 3) 에서 수행 할 수 있습니다.$U = \{u_1, \ldots , u_k\}$$G$$n/2$$n/2$$U$$i\in \{2, k\}$$u_1$$u_i$ max-flow 알고리즘을 사용합니다. 따라서 촬영 총 시간은 O ( N 8 / 3 로그 N ) .$O(n^{8/3})$$O(n^{8/3}\log n)$

$n/2$$n/2$$n/2$$X$$\bar X$$x := |X| \leq n/2$$X$$x - 1$$X$$n/2 - (x - 1)$$x (n/2 - x + 1)$$x (n/2 - x + 1) \geq n/2$$(x - 1)(n/2 - x) \geq 0$

이상하게도, 유일한 나는이 결과는 찾기를 참조하는 이 생물 정보학 컨퍼런스에서. 그것이 다른 곳에서 입증되었는지 정말 궁금합니다.

편집 : 이전의 참고 문헌 : Gary Chartrand : 통신 문제에 대한 그래프 이론적 접근 , SIAM J. Appl. 수학. 14-4 (1966), 778-781 쪽.