SAT와 관련된 토폴로지 공간 : 컴팩트합니까?

Satisfiability의 문제는 물론, 이론적 인 CS의 근본적인 문제이다. 나는 무한히 많은 변수로 한 가지 버전의 문제로 놀고있었습니다.$\newcommand{\sat}{\mathrm{sat}} \newcommand{\unsat}{\mathrm{unsat}}$

기본 설정. 하자 비어 있지 않은 및 수 의 가능성이 무한한 변수 . 리터럴은 변수 x ∈ X 또는 그 부정 ¬ x 입니다. c 절 은 한정된 수의 리터럴을 분리 한 것입니다 . 마지막으로, 수식 F 를 절 세트 로 정의합니다 .$X$$x \in X$$\neg x$$c$$F$

의 할당은 함수 σ : X → { 0 , 1 } 입니다. 과제 σ 가 절을 만족할 때의 조건을 명시 적으로 정의하지 않겠다 . 약간 성가 시며 표준 SAT와 동일합니다. 마지막으로 대입은 모든 구성 절을 만족하는 경우 수식을 충족시킵니다. 하자 의 t ( F는 ) 에 대한 할당을 만족들의 집합 F , 및하자 유를 N 이야 t ( F가 ) 의 보수 수 의 t$X$$\sigma : X \to \{0,1\}$$\sigma$$\sat(F)$$F$$\unsat(F)$ .$\sat(F)$

토폴로지 공간.

우리의 목표는 모든 과제의 공간을 부여하는 것입니다 ,이 전화 Σ를 으로, 위상 구조 . 닫힌 세트는 s a t ( F ) 형식 이며 여기서 F 는 수식입니다. 이것이 실제로 토폴로지인지 확인할 수 있습니다.$X$$\Sigma$$\sat(F)$$F$

• 절이없는 빈 공식 는 모든 할당에서 만족됩니다. 그래서 Σ는 폐쇄된다.$\emptyset$$\Sigma$
• x ∈ X에 대한 공식 는 모순입니다. 그래서 ∅ 닫힙니다.$\{ x, \neg x \}$$x \in X$$\emptyset$
• 임의의 교차로에서 폐쇄. 가 각 i ∈ I에 대한 공식 이라고 가정 합니다. 그런 다음 s a t ( ⋃ i ∈ I F i ) = ⋂ i ∈ I s a t ( F i ) .$F_{i}$$i \in I$$\sat \left(\bigcup_{i \in I} F_i\right) = \bigcap_{i \in I} \sat(F_i)$
• 유한 한 노동 조합의 폐쇄. 와 G 가 두 개의 공식 이라고 가정 하고 F ∨ G : = { c ∨ $F$$G$ 그런 다음 s a t ( F ∨ G ) = s a t ( F ) ∪ s a t ( G ) 이 인수는 필요하지만 생략하겠습니다. $$F \vee G := \{ c \vee d \,:\, c \in F, d \in G \}.$$ $\sat(F \vee G) = \sat(F) \cup \sat(G)$

이 토폴로지 를 Σ 의 "만족도 토폴로지"(!)라고 합니다. 물론,이 토폴로지의 열린 세트는 u n s a t ( F ) 형식 입니다. 또한, 열린 집합의 수집 { u n s a t ( c $\mathcal T$$\Sigma$$\unsat(F)$ 이며 T 의 기초를 형성합니다. (운동!)

콤팩트? 나는 이것이 매우 유용하지는 않지만 물건을 보는 흥미로운 방법이라고 생각합니다. 이 토폴로지 공간이 압축성, 연결성 등과 같은 전통적인 흥미로운 속성을 가지고 있는지 이해하고 싶습니다.이 게시물에서는 압축성으로 제한합니다.

하자 변수의 countably 무한 수집합니다. ¹ 이다 Σ의 에서 소형 T ?$X$$\Sigma$$\mathcal T$

하나는 다음을 증명할 수 있습니다

제안. 오직 모든 경우에 대해 수식 시켰음 컴팩트 F는 , 유한 시켰음 subformula 존재 { c를 1 , c를 2 , ... , C의 m } ⊆ F .$\mathcal T$$F$$\{ c_1, c_2, \ldots, c_m \} \subseteq F$

(엄청 나지 않은 운동!) 며칠 동안 생각한 후에이 질문에 답하는 데 큰 진전이 없었습니다. 또한 컴팩트성에 대한 강력한 증거도 없습니다. 몇 가지 접근법을 제안 할 수 있습니까?

마지막으로 보너스 질문으로 :

그러한 구조가 전에 연구 되었습니까?

¹ 셀 수있는 대한 제한 은 단순함을위한 것입니다. 또한 한정된 수의 변수에서 다음 단계로 느껴집니다.$X$

당신이하고있는 일은 불리언 대수의 토폴로지 표현을 도출하는 것입니다. 불리언 대수의 표현에 대한 연구는 적어도 1925 년 린덴 바움과 타르 스키 (Tarski)에게로 돌아가서 완전한 원자 부울 대수는 파워 셋 격자에 동형 인 것으로 판명되었다.

$x_1, x_1 \land x_2, \ldots$

부울 대수에 대한 스톤의 표현 정리 모든 부울 대수는 토폴로지 공간의 클로 펜 부분 집합의 격자에 동형입니다.

$\mathit{true}$

부울 대수의 석재 공간은 작고 완전히 분리 된 Hausdorff 공간입니다.

Stone의 표현을 다양한 방향으로 확장하고 일반화하는 몇 가지 결과가 있습니다. 자연스러운 질문은 다른 격자 계열이 그러한 표현을 가지고 있는지 묻는 것입니다. Stone의 결과는 분산 격자에도 적용됩니다. 임의의 격자에 대한 토폴로지 표현은 1978 년 Alasdair Urquhart에 의해 제공되었습니다. 분배 격자는 부울 대수에 비해 구조의 다양성이 뛰어나고 큰 관심을 받고 있습니다. 1970 년에 힐러리 프리스틀리 (Hilary Priestley)는 분배 된 사건에 대한 다른 표현을 질서있는 토폴로지 공간 이라는 아이디어를 사용하여 제시 했다 . 세트 기반 표현 대신, 포즈 기반 표현과 토폴로지를 찾을 수 있습니다.

이 논문의 구성은 한 가지 놀라운 특성을 가지고 있습니다. Stone의 구성은 부울 대수 만 위상 공간에 매핑하지 않습니다. 부울 대수와 관련된 구조적 관계는 결과 토폴로지 사이의 구조적 속성으로 변환됩니다. 범주 간 이중성입니다. 이러한 결과의 전체 영역을 Stone Duality 라고 합니다. 비공식적으로, 이원성은 우리에게 수학적 우주, 즉 조합 세계, 격자의 대수 세계, 토폴로지의 공간 세계 및 논리적 인 연역 세계 사이의 정확한 번역을 제공합니다. 도움이 될만한 몇 가지 시작점이 있습니다.

1. 격자와 질서 소개 11 장 , Davey와 Priestley는 Stone의 정리를 다룬다.
2. Matthew Gwynne의 슬라이드 는 정리를 다루고 압축의 증거를 제공합니다. Matthew는 (설명에서) Paul Halmos의 Boolean Algebras 소개를 제안 합니다.
3. 명제 논리에서 모달 논리로 이동할 때 부울 대수는 결합 보존 연산자로 확장되고 내부는 토폴로지로 확장됩니다. Jónsson and Tarski의 1952 년 논문, 연산자 가있는 부울 대수 는 읽기 쉽고 최신 표기법과 일치합니다.
4. Blackburn, de Rijke 및 Venema 의 Modal Logic 5 장 에서는 Stone의 정리와 연산자를 사용하는 부울 대수 확장을 다룹니다.
5. Peter Johnstone의 Stone Spaces는 다양한 다른 종류의 대수에 대한 이러한 결과를 검토합니다.