이산 푸리에 변환 계산의 복잡성?

정수 벡터의 표준 이산 푸리에 변환 을 계산하는 복잡성 (표준 정수 RAM)은 무엇입니까?$n$

고전 고속 푸리에 변환 알고리즘에 대한 부적절, ^[1] 쿨리 Tukey에 기인는 일반적으로 실행되는 것으로 설명 시간. 그러나이 알고리즘에서 실행되는 대부분의 산술 연산은 복잡한 번째 근본 단위 (대부분의 경우 )가 비합리적인 것으로 시작하므로 일정한 시간에 정확한 평가는 합리적이지 않습니다. 동일한 문제가 순진한 -시간 알고리즘 (복합 근의 Vandermonde 행렬에 곱함)에서 발생합니다.N N O ( N 2$O(n \log n)$$n$$n$$O(n^2)$

DFT의 출력을 정확하게 (유용한 형식으로) 표현하는 방법조차 명확하지 않습니다. 다시 말해, DFT 계산이 실제로 가능하다는 것은 확실하지 않습니다!

따라서 각 출력 값에 비트의 정밀도 만 필요하다고 가정하십시오 . 과 의 함수로 이산 푸리에 변환을 계산하는 복잡성은 무엇입니까 ? (구체적으로, 이 의 거듭 제곱 이라고 가정하십시오 .)n b n $b$$n$$b$$n$$2$

아니면 문헌에서 "FFT"의 모든 사례가 실제로 "빠른 수 이론 변환 "을 의미합니까? ^[2]

가우시안 제거 와 유클리드 최단 경로 의 복잡성에 대한 관련 질문을 참조하십시오 .

_{^[1] 실제로 Gauss-Runge-König-Yates-Stumpf-Danielson-Lánczos-Cooley-Tukey 알고리즘 (일부 접두사)이라고합니다.}

_{^[2] 그렇다면 대부분의 교과서에서 왜 복소수 알고리즘 만 설명합니까?}

이 답변은 Schönhage와 Strassen의 긴 정수 곱셈에 대한 첫 번째 알고리즘 ( "방법 A") 분석의 변형입니다.

길이 의 FFT를 계산한다고 가정합니다 . 모든 값이 1보다 작도록 입력의 크기를 조정하십시오. 먼저 비트 고정 소수점 산술 ( 이진 포인트 뒤 비트)로 계산한다고 가정하겠습니다 . 하자 최소한의 위치 ( "복합") 유닛 일. 보자 . m m δ = 2 1 / 2 - m ω = exp ( 2 π i / K $K = 2^k$$m$$m$$\delta = 2^{1/2 -m}$$\omega = \exp(2\pi i/K)$

1) 하나의 수 계산 근사 등이 | ω ′ j − ω j | 모든 0 ≤ j ≤ K - 1에 대해 ≤ ( 2 k - 1 ) δ . 이것은 시간에 수행 될 수 O ( K M ( m ) ) M ( M은 ) 곱셈하는 데 필요한 시간이다 m의 비트 번호. (Knuth Vol. 2, 3 판, 309 페이지 참조).$\omega_j'$$|\omega_j' - \omega^j| \le (2k-1)\delta$$0 \le j \le K-1$$O(K M(m))$$M(m)$$m$

표준 정수 RAM 수단 대수 경우 선정 된 후, . 표준 정수 RAM이 워드 RAM을 의미하는 경우 M ( m ) = O ( m ) 입니다. (Schönhage 및 쉬트 라쎈 "메도 A"에서 표시 방법을 선형 시간의 곱셈 줄일 분 에 비트 번호 m을 승산 O ( 로그 m ) 번호 비트. 후자의 단위 비용으로 수행 될 수있다.)$M(m) = O(m \log m)$$M(m) = O(m)$$m$$m$$O(\log m)$

2) 기존 Cooley-Tukey FFT 형식 의 연산을 계산합니다 . 우리는 m 비트 고정 소수점 산술을 사용하며, 이러한 연산은 a ' = t r u n c a t e ( b ' + ω ' j c ' )가 됩니다. 우리가 알고있는 경우 B ' 및 C ' 의 오류까지를 ε , 우리가 얻을 ' 의 오류로 최대 2 ε + $a = b + \omega^j c$$m$$a' = truncate(b' + \omega_j' c')$$b'$$c'$$\epsilon$$a'$ .$2\epsilon + 2k\delta$

3) 유도를 사용하면 오류 와 함께 최종 결과를 얻는 것이 쉽습니다 . 결국 정밀도 b 를 얻으려면 m ≥ k + log k + b + O ( 1 ) . $(2^k - 1) \cdot 2k\delta$$b$$m \ge k + \log k + b + O(1)$

4) 그러므로, 최종 실행 시간은 .$O(K k M(k+b))$

이것은 부동 소수점 숫자에서도 작동해야합니다. 1) 고정 소수점 산술로 계속 수행 할 수 있으며 2) 부동 소수점 숫자에도 적용됩니다.

고정 소수점 산술에서는 더 빠를 수도 있다고 생각합니다. 먼저 Bluestein의 트릭을 사용하여 FFT 계산을 다항식의 곱셈으로 줄입니다. 원하는 정밀도를 얻는 데 필요한 계수의 길이는 여야합니다 . 그런 다음 다항식의 곱셈을 긴 정수의 곱셈으로 줄입니다. (계수를 긴 수에 더하고 길이 O ( k + b ) 의 0 블록으로 분리합니다 .) 정수의 길이는 O ( K ( k + b ) ) 입니다.$O(k + b)$$O(k+b)$$O(K(k+b))$

이 답변은 완전한 답변은 아니지만 관련 논문을 소개하고 문헌에서 특정 질문에 대한 답변을 추출하는 것이 쉽지 않은 이유를 부분적으로 설명 할 수도 있습니다.

질문으로 시작하겠습니다. 왜이 질문에 대한 답을 알고 싶습니까? 일반적으로 이러한 종류의 문제에 관심이있는 사람들은 실제로 실제 응용 프로그램을위한 고성능 FFT를 구현하는 사람들입니다. 이러한 사람들은 특정 하드웨어 및 소프트웨어 제약 조건에서 성능을 최대화하는 것보다 이상적인 계산 모델에서 점근 적 복잡성에 덜 신경을 씁니다. 예를 들어, West에서 가장 빠른 푸리에 변환 의 개발자는 다음과 같이 논문을 작성합니다.

최선의 선택은 레지스터 수, 명령 대기 시간 및 처리량, 캐시 크기 및 연관성, 프로세서 파이프 라인 구조 등과 같은 하드웨어 세부 정보에 따라 다릅니다.

이론가들은 일반적으로 자신의 손에 얽매이고 싶지 않은 문제이지만 실제 구현에서는 매우 중요합니다. 이론가가 "RAM 모델에서 절대 최고의 점근 적 비트 복잡도를 알아 냈다"고 선언하면, 실무자는 "좋습니다."라고 말하지만, 이론적 인 결과는 그 목적에 쓸모가 없을 수도 있습니다.

그렇게 말하면서, 당신의 최선의 방법은 수치 분석 문헌을 보는 것입니다. 예를 들어, Tasche와 Zeuner 는 FFT 알고리즘의 수치 안정성을 면밀히 검토했습니다. 실무자들 사이의 일반적인 합의는 주어진 양의 수치 정밀도를 달성하기 위해 " 실질적 요인"이라는 특정 숫자를 높은 정확도 로 미리 계산 하는 것입니다. 만하고 있다면 하나의 FFT를, 다음이 당신이 FFT 연산 많은 수의 위에 한 번 사전 계산의 비용을 법인에게 양도하지 않기 때문에 가장 빠른 방법을 될 수 없습니다. 여전히 최악의 반올림 오차에 대한 분석은 여전히 ​​귀하의 질문과 관련이 있습니다.