세트 커버의 근사치 : m = poly (n)으로 가정 할 수 있습니까?

세트 커버를 줄이면 특정 문제가 거의 발생하지 않음을 보여 주려고합니다. 축소는지면 크기의 세트로 인스턴스를 변환합니다. $n$ 과 $m$ 특정 매개 변수가있는 문제의 인스턴스로 설정됩니다. $r$ 크기가 $O(n+m)$ . 그런 다음 표지 크기가 s 인 세트 표지의 인스턴스가 최적 솔루션의 크기가있는 내 문제의 인스턴스에 해당함을 보여줄 수 있습니다. $2s$ (또는 이와 비슷한) 그 반대의 경우도 마찬가지입니다. Raz-Safra를 호출하여 내 문제가 다음과 같은 요인에 가깝다고 결론을 내립니다. $c \log{r}$ 일부 상수의 경우 $c$ . 내가 그것을 가정 할 수 있다면 이것은 잘 작동 할 것이다. $m$ 고정 다항식에 의해 경계 $n$ . 이것을 가정하는 것이 정통한지 아는 사람이 있습니까? 이것은 세트 커버에 대한 표준 NP- 경도 증명에 사용 된 인스턴스 패밀리에 해당되는 것이지만, 이것이 Raz와 Safra에 의해 채택 된 PCP 감축의 경우에 해당되는지 확실하지 않습니다.

cc.complexity-theory approximation-hardness set-cover

— 에디스 엘 킨트
소스

예, 세트 커버 인스턴스의 세트 수 m은 요소 수에서 다항식입니다.

그건 그렇고-Set-Cover의 최첨단 경도 결과는 다음과 같습니다.

Noga Alon과 Muli Safra를 통해 Raz-Safra / Arora-Sudan PCP를 사용하여 더 나은 상수를 얻는 방법을 보여주었습니다. $c$ 경도 계수에서 $c\log n$ .

http://people.csail.mit.edu/dmoshkov/papers/k-restrictions/k-rest-full.ps
Feige는 최적의 경도 계수를 얻는 방법을 보여주었습니다 $(1-\epsilon)\ln n$ 가정 $NP\not\subseteq DTIME(n^{\log\log n})$ .

http://www.cs.duke.edu/courses/spring07/cps296.2/papers/p634-feige.pdf
나는 최근 PCP에 대한 그럴듯한 추측을 가정하면서 Feige의 감소를 NP- 경도 결과 (즉, 기반으로 한 결과)에 적용하는 방법에 대한 메모를 발표했습니다. 프로젝션 게임에 대한 1993 "슬라이딩 스케일 추측"중 하나). $P\neq NP$

http://eccc.hpi-web.de/report/2011/112/ (나중에 감소가 과 감소 폭발 사이에 최적의 균형을 제공한다는 것을 알게되었습니다 ). $\epsilon$

— 다나 모시 코 비츠
소스

여전히 경도를 얻을 수있는 가장 약한 분리 가정은 무엇입니까 ?

(1 - ϵ) \log n

$(1-\epsilon)\log n$

— Suresh Venkat

다나, 답변 주셔서 감사합니다! 마음에 들지 않는 후속 질문 : 이것은 "멍청한"질문입니까, 즉 m = poly (n)을 암시하는 높은 수준의 고려 사항이 있습니까, 아니면 실제로 알아야 할 경우입니까? 내 질문에 대답하는 Raz-Safra 경도 증거?

— Edith Elkind

@Suresh : 나는 당신이 을 의미한다고 가정합니다 . Feige의 가정 ( )과 나의 가정 ( "Projection Games Conjecture")은 비교할 수 없습니다. 나는 내 가정이 가까운 장래에 증명 될 것이라고 믿는다.

(1 - ϵ) \ln n

$(1-\epsilon)\ln n$

N P ⊈ D T I M E (n^{\log \log n})

$NP\not\subseteq DTIME(n^{\log\log n})$

— Dana Moshkovitz

@lostinjungle : m이 n에서 다항식이 아니었다면 감소를 "폴리-시간 감소"라고 생각할 수 없었습니다. Raz-Safra / Arora-Sudan PCP가 m = poly (n)을 산출하는 특별한 이유는 PCP 변수 / 제약 + 당 세트가 있고 그에 대한 할당, 변수 및 제약 조건의 수 및 알파벳의 크기는 다항식이며 쿼리 수는 일정합니다.

— Dana Moshkovitz

@DanaMoshkovitz : 감사합니다! 그래도 첫 번째 주장을 이해하지 못했습니다. 다음과 같은 (가설적인) 축소의 문제점 : 꼭지점이있는 정점 표지의 인스턴스로 시작 하여 세트와 크기가 인 지상 세트로 표지 세트의 인스턴스를 만듭니다. 여기서 은 솔루션입니다 에 ? 이것은 확실히 폴리 타임에서 작동합니다. 분명히, 나는 이런 식으로 축소를 본 적이 없지만 논리적으로 불가능하지는 않습니다. 아니면 내가 틀렸어? 물론 내 원래 질문에 이미 답변 되었으므로이 질문을 무시하십시오. 그냥 궁금 해서요 ...

k

$k$

m = k^{3}

$m = k^3$

n

$n$

n

$n$

n^{\log n} = m

$n^{\log n} = m$

— Edith Elkind