연속 점 사이의 최소 유클리드 거리가 최대화되도록 점 정렬

3D 데카르트 공간에 일련의 점이 주어지면 두 점 사이의 최소 유클리드 거리가 최대화되도록 이러한 점을 정렬하는 알고리즘을 찾고 있습니다.

알고리즘이 연속 점 사이의 평균 유클리드 거리가 더 높은 경향이있는 경우에도 도움이됩니다.

graph-algorithms cg.comp-geom optimization

— 리어 코간
소스

크로스 포스트 , 동기 부여 .

— Jukka Suomela

병목 현상 TSP 의 최대화 버전처럼 들립니다 . 또는 가장 긴 경로 문제 의 병목 현상 버전 . 이름이 있습니까?

— Jukka Suomela

곤잘레스 k- 클러스터링 휴리스틱 (욕심쟁이 전략)을 사용하는 것이 좋습니다. 이것을 완전히 생각하지 않고 2 근사값을 얻는 것처럼 보입니다.

— Suresh Venkat

불행히도, 언급 한 바와 같이 Gonzalez는 좋은 대답을하지 않습니다 ((-100,0), (99,0) 및 (100,0)). 예를 들어 잘못된 지점 (-100,0)에서 시작하면 끔찍한 답변을 얻습니다. 모든 시점에서 곤잘레스를 실행하고 최상의 답변을 얻는 것이 여전히 가능합니다.

— Suresh Venkat

답변:

ETA : 아래의 모든 것은 " 최대 산포 TSP 에 관한 논문 ", Arkin et al, SODA 1997에 있습니다.

정확한 답변은 모르겠지만 Suresh의 Gonzalez 클러스터링 제안과는 약간 다른 접근법이 있습니다.

이 짝수 인 단순성을 가정합니다 . 각 정점 에 대해 거리 의 중앙값을 찾습니다 . 모든 정점 가 적어도 중간 거리만큼 떨어진 다른 정점에 연결 되는 무 방향 그래프를 만듭니다. 이 그래프의 최소 차수는 이상 이므로 Dirac의 정리에 의해이 그래프에서 해밀턴 사이클을 찾을 수 있습니다. $n$ $p$ $n-1$ $d(p,q)$ $p$ $n/2$

한편, 거기에 에 중심이 디스크 정점 반경와 임의의 해밀 토니안 사이클 에지가 연결해야해야하므로, 사이클의 독립적 인 세트를 형성하기에 너무 많은 이러한 길이의 정점의 일부 두 많아야 . 따라서이 알고리즘에 의해 발견 된 해밀턴 사이클은 병목 현상 최대 사이클에 대해 2 근사치입니다. $n/2 + 1$ $p$ $d(p,q)$ $2d(p,q)$

이것은 모든 미터법 공간에서 작동하며 모든 미터법 공간에서 작동하는 알고리즘 중에서 최적의 근사화 비율을 제공합니다. 예를 들어, 2 배 이내보다 근사치가 더 좋을 경우 입력 그래프를 해밀턴 사이클 문제로 모든 그래프 모서리에 대해 거리가 2 인 메트릭스 공간으로 축소하고 모든 비에 대해 거리가 1 인 해밀턴 사이클 문제를 정확하게 해결할 수 있습니다. -가장자리.

아마도 약간의주의를 기울이면 사이클 대신 경로에 대한 근사 알고리즘으로 이것을 마사지 할 수 있습니다.

— 데이비드 엡스타인
소스

유클리드 사건에 PTAS가 없다고 믿을만한 이유가 있습니까?

— Jukka Suomela

내가 아는 이유가 없습니다. 그러나 유클리드 네트워크 설계 문제에 대한 일반적인 PTAS 방법은 최대화가 아니라 최소화를 위해서만 작동합니다.

— David Eppstein

내가 아는 한 가지 예외는 비행기에서 오리엔티어링을위한 PTAS에 관한 Chen과 Har-Peled의 논문입니다. 최대화 문제입니다.

— 찬드라 체 쿠리

우리는이 질문을 다루는 예를 들어, 유클리드 사건의 경우 최대 산포 TSP에 대한 PTAS를 제공하는 사전 인쇄본을 업로드했습니다. arxiv.org/abs/1512.02963 (라 슬로 코즈 마, 토비아스 Mömke : 유클리드 최대 살포 TSP를위한 학부모 교사)

— 라 슬로 코즈 마

우리는이 질문을 다루는 예를 들어, 유클리드 사건의 경우 최대 산포 TSP에 대한 PTAS를 제공하는 사전 인쇄본을 업로드했습니다. http://arxiv.org/abs/1512.02963 (László Kozma, Tobias Mömke : 유클리드 최대 분산 형 TSP의 PTAS)

— 라 슬로 코즈 마
소스