교회 튜링 논문을 반증한다는 것은 무엇을 의미 하는가?

눈에 띄는 제목으로 죄송합니다. 교회 튜링 논문을 반증하기 위해서는 어떻게해야합니까? 어딘가에서 읽은 것이 수학적으로 불가능합니다! 왜?

Turing, Rosser 등은 "계산 가능한 것"과 "Turing 기계로 계산할 수있는 것"을 구별하기 위해 다른 용어를 사용했습니다.

이에 관한 튜링의 1939 년 정의는 "우리는 기계로 계산할 수있는 기능을 의미하기 위해"계산 가능한 기능 "이라는 표현을 사용해야하며,"정의 적으로 계산할 수있는 "은 이러한 정의 중 어느 하나와도 특별한 식별없이 직관적 인 아이디어를 참조하게합니다".

따라서 교회 튜링 논문은 다음과 같이 말할 수 있습니다. 효과적으로 계산 가능한 모든 함수는 계산 가능한 함수입니다.

다시 한번,이 추측을 반증한다면 증거는 어떻게 보일까요?

교회 튜링 논문은 모든 실용적인 목적으로 입증되었습니다.

http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.146.5402

Dershowitz와 Gurevich, 2008 년 상징 논리 게시판.

(이 참조는 교회와 튜링의 역사를 논의하고, "교회의 논문"과 "튜링의 논문"을 별개의 논리적 인 주장으로 분리 한 다음, 계산의 직관적 인 공리 화 안에서 그것들을 증명합니다.)

이런 종류의 토론에서 언급하지 않는 미묘한 점이 있으며 더 많은주의를 기울여야한다고 생각합니다.

Andrej가 제안한 바와 같이 누군가 어떤 Turing 머신으로도 계산할 수없는 함수 를 안정적으로 계산하는 장치를 만든다고 가정 합니다. 기계가 실제로 계산한다는 것을 어떻게 알 수 있을까요?f$f$$f$

분명히, 유한 한 수의 입력 / 출력 값은 기계가 그 유한 세트의 와 일치하는 다른 Turing 계산 기능과 반대로 를 계산하고 있음을 입증하기에 충분하지 않습니다 . 따라서 기계가 계산되어 우리의 믿음 우리를 기반으로 할 것이다 물리적 이론을 어떻게 기계가 작동된다. 하이퍼 컴퓨터에 대한 구체적인 제안을 살펴보면, 그들이하는 일은 멋진 최첨단 물리 이론을 취하고 그 이론을 무한대로 외삽하는 것입니다.f $f$$f$$f$. 알았어.하지만 이제 하이퍼 컴퓨터를 만들어 ZFC에서 모순을 검색하는 튜링 머신이 멈출 지 물어 보자. 하이퍼 컴퓨터가 "아니오"라고 대답한다고 가정하자. 우리는 무엇을 결론을 내립니까? 하이퍼 컴퓨터가 ZFC의 일관성을 "계산"했다고 결론을 내립니까? ZFC가 실제로 일치하지 않을 가능성을 어떻게 배제 하고 물리 이론을 위조 한 실험을 방금 수행 했습니까?

Turing 정의의 중요한 특징은 철학적 가정이 매우 약하다는 것입니다. 물론 실제 세계의 기본 안정성 , 신뢰할 수 있고 반복 가능하며 검증 가능한 방식으로 유한 한 작업 을 수행 할 수있는 능력과 같은 일상적인 경험의 특정 간단한 특징을 가정합니다 . 모든 사람들이 받아들이는 것들 (철학 교실 밖에서, 즉!). 그러나 하이퍼 컴퓨터를 받아들이려면 무한한 외삽 법 을 받아 들여야합니다.물리 이론에 대한 우리의 모든 경험은 우리가 실험적으로 확인할 수있는 것 이상으로 정권에서 이론의 타당성에 대해 독단적이지 않도록 가르쳤습니다. 이러한 이유로, 압도적 인 합의 어떤 종류의 어느 특정 hypercomputer 단순히 것을 개발할 것을 나에게 매우 아닌 것 같습니다 컴퓨팅 에 반대 hypercomputing 즉, "컴퓨팅"호출 할 수있는 일을하는 것이 아니라 당신은 몇 가지 논란의 철학을 받아 들일 경우 나, 무한 외삽에 대한 물리적 가정.

그것을 설명하는 또 다른 방법은 교회-투어링 논문을 반증하는 것은 안드레이가 묘사 한 장치를 구축 할 뿐만 아니라 장치가 광고 된대로 수행하고 있다는 것을 모두에게 만족시키는 것입니다. 생각할 수는 없지만 이것은 큰 순서입니다. 오늘날의 컴퓨터에서 계산의 초기 특성은 특정 컴퓨터의 "계산"의 결과를 믿지 않으면 원칙적으로 결과를 확인하기 위해 완전히 다른 방식으로 유한 단계 시퀀스를 수행 할 수 있음을 의미합니다. 하이퍼 컴퓨터에 대한 의문이있는 경우 상식 및 유한 검증에 대한 이러한 "대체"를 사용할 수 없습니다.

"효과적으로 계산할 수있는 기능"의 비공식적 인 성격으로 인해 교회-투어링 논문을 증명하는 것은 매우 어려운 것처럼 보이지만, 우리는 그것을 반증하는 것이 무엇을 의미하는지 상상할 수 있습니다. 즉, 누군가 튜링 머신에서 계산할 수없는 함수를 (신뢰할 수있게) 계산하는 장치를 구축 한 경우 튜링 머신에서 계산할 수없는 효과적으로 계산 가능한 함수가 존재하기 때문에 Church-Turing 논문을 반증 할 수 있습니다.

교회의 반증-튜링 논문은 실제로 상상하기 매우 어렵고 개념적으로 매우 어렵다. Church-Turing 논문과 다소 긴장을 겪고있는 다양한 "가설의 물리적 세계"가 있습니다 (그러나 그것들이 그 자체로 흥미로운 철학적 질문인지 모순되는지). 피토 스키 (Pitowsky)의“ 물리적 교회의 논문과 물리적 계산 복잡성”(Iyun 39, 81-99 (1990)) 은 그러한 가상의 물리적 세계를 다룬다. Itamar Pitowsky와 Oron Shagrir의 논문 : " 교회 튜빙 논문 및 초 전산 계산 ", 마음과 기계 13, 87-101 (2003). 오론 샤 그리 르 (Oron Shagrir)는 교회 튜링 논문에 대한 몇 가지 철학적 논문을 웹 페이지에서 볼 수있다 . ( 이 블로그 게시물 도 참조하십시오 .)

효과적이고 효율적인 Church-Turing 논문은 최초의 Church-Turing 주장보다 무한히 더 강력한 주장으로, Turing 머신으로 모든 가능한 계산을 효율적으로 시뮬레이션 할 수 있다고 주장합니다. 양자 컴퓨터는 실제로 효율적인 교회 여행 논문이 유효하지 않다는 것을 보여줄 것입니다 (모듈로 계산 복잡도 수학 추측, 모듈로 "점근 해석"). 효율적인 교회-투어 추측은 1985 년 Wolfram이 처음으로 공식화했다고 생각합니다.이 논문은 위의 Pitowsky 논문에 인용되었습니다. 사실, 당신은 효율적인 CT 논문을 반박하기 위해 보편적 인 양자 컴퓨터가 필요하지 않으며, 양자 시스템의 계산적 우월성을 입증 할 수있는 간단한 데모를 제안하는 것은 흥미로운 연구 라인 (아 론슨이 연구하는 것)입니다.

본격적인 양자 결함 허용 (범용 양자 계산을 가능하게하는)을 갖기보다는 잡음이있을 때 양자 컴퓨터의 계산 우월성을 입증하는 간단한 방법이 있다면 흥미로운 문제이기도하다. (Scott A.는이 문제에도 관심이 있습니다.)

내가 이해하는 한, 논문을 증명하거나 반증하는 "불가능"은 "효과적으로 계산할 수있는"에 대한 공식적인 정의가 없다는 것입니다. 오늘날, 우리는 그것을 정확히 "튜링 머신으로 계산할 수있는"것으로 생각하지만, 그것은 오히려 의문을 제기합니다.

튜링 머신보다 훨씬 강력한 계산 모델을 연구 한 결과, http://en.wikipedia.org/wiki/Hypercomputation 을 살펴보십시오 . 또는 튜링 머신의 중단 문제에 대한 오라클과 튜링 머신을 가져 가십시오. 이러한 기계에는 자체 Halting Problem이 있지만 원래 Halting Problem을 잘 해결할 수 있습니다. 물론 우리에게는 그러한 오라클이 없지만 아이디어에 대해 수학적으로 불가능한 것은 없습니다.

하이퍼 컴퓨팅의 비난은 일반적으로 한정된 공간이 포함 할 수있는 정보의 양에 대한 특정 제한을 주장하는 Bekenstein의 경계의 유효성을 가정합니다. 이 한계에 대해서는 논란이 있지만, 대부분의 물리학 자들은 이것을 받아들입니다.

Bekenstein의 경계가 잘못 위반되고 특정 지역에 포함 된 정보의 양 (예 : 블랙홀 또는 무한 정밀하고 견고한 조각)에 제한이없고 그 내용을 검사 할 수있는 임의로 수정 가능한 메커니즘이있는 경우 영역 (예를 들어, 신중하게 구성된 물체가 블랙홀에 떨어지거나 조각의 홈에 스타일러스를 옮길 때 방출되는 방사선을주의 깊게 검사하여) 정지 오라클을 코딩하는 인공물이 이미 존재한다고 가정 할 수 있습니다. .

매우 가능성은 낮지 만 하이퍼 컴퓨팅이 불가능하다는 주장은 수학적 진실이 아니라 물리학에 기반을두고 있음을 보여줍니다. 즉, Andrej는 [교회-투어링 논문]을 반박하는 것이 무엇을 의미하는지 상상할 수 있다고 말했을 때 옳 습니다. 즉, 누군가가 어떤 튜링 머신에서도 계산할 수없는 기능을 (신뢰할 수있게) 계산하는 장치를 만든 경우입니다 .

확장 교회 튜링 논문 에 관하여 ( "확률적인 튜링 머신은 물리적으로 계산 가능한 기능을 효율적으로 시뮬레이션 할 수있다"는 의미) :

한 가지 가능성은 클래식 컴퓨터와 양자 컴퓨터의 차이점입니다. 특히, "양 컴퓨터가 기존 컴퓨터로는 할 수없는 작업을 수행 할 수 있습니까?"라는 질문이 있습니다. Scott Aaronson의 최근 ECCC 보고서 (5 페이지의 추측 9 참조)는 입증 된 경우 확장 교회 튜링 논문에 대한 강력한 증거를 제공 할 것이라는 추측을 강조합니다.

확장 교회 튜링 논문을 반증한다면, 그것은 (전통적인) 튜링 머신이 효율적으로 계산할 수없는 효율적으로 계산 가능한 작업을 보여줌으로써 그렇게 보일 수 있습니다.

DCM2011 에서 발표 된 새로운 논문 : 확장 교회 튜링 논문의 형식화 및 증명 (Nachum Dershowitz 및 Evgenia Falkovich)

Selim Akl의 다음 논문이 흥미롭고 토론과 관련이있을 수 있습니다.

Akl, SG, "범용 컴퓨터의 신화를 없애기위한 세 가지 반례", Parallel Processing Letters, Vol. 16, No. 3, 2006 년 9 월, 381-403 쪽.

Akl, SG, "가속화 기계도 보편적이지 않다", International Unconventional Computing, Vol. 3, No. 2, 2007, pp. 105-121.

Nagy, M. 및 Akl, SG, "양자 정보 처리의 병렬화는 범용 컴퓨터를 패배시킨다", 병렬 처리 서한, 비 전통적 계산 문제에 관한 특별 문제, Vol. 17, No. 3, 2007 년 9 월, 233-262 쪽.

다음은 첫 번째 개요입니다.

유니버설 컴퓨터의 개념을 실현할 수 없음을 알 수 있습니다. 구체적으로, 단계 당 유한하고 고정 된 수의 연산만을 수행 할 수있는 임의의 기계 (U)에서 계산 될 수없는 계산 가능한 기능 (F)의 인스턴스가 나타난다. 기계 U에 무한 메모리가 부여되고 F를 계산하려고 시도하는 동안 외부 세계와 통신 할 수있는 능력이있는 경우에도 마찬가지입니다. 또한 U에 계산할 시간이 무한정 인 경우에도 마찬가지입니다. F.이 결과는 튜링 머신 등과 같은 이상적인 계산 모델뿐만 아니라 기존의 기존 컴퓨터 (순차 및 병렬 모두 포함)뿐만 아니라 기존의 기존 컴퓨터를 포함하여 알려진 모든 범용 컴퓨터에도 적용됩니다. 생물학적 및 양자 컴퓨터로서.

그것은 어떻게 사실 일 수 있습니까? 클래식 컴퓨터는 양자 컴퓨터를 효율적으로 시뮬레이션 할 수 없습니다. 고전 알고리즘을 실행하는 고전 컴퓨터에 비해 기하 급수적으로 속도를 제공하는 양자 알고리즘이 있습니다. Shor의 알고리즘은 하나입니다.