추상 기계가 자체를 시뮬레이션 할 수 있다면 튜링이 완료됩니까?

예를 들어, 프로그래밍 언어에서는 X-in-X 컴파일러 / 인터프리터를 작성하는 것이 일반적이지만,보다 일반적인 수준에서 알려진 많은 Turing-complete 시스템은 인상적인 방식으로 시뮬레이션 할 수 있습니다 (예 : Conway의 Game of Life에서 Conway의 Game of Life 시뮬레이션) ).

그래서 내 질문은 : 시스템이 튜링이 완료되었음을 증명하기에 충분히 시뮬레이션 할 수 있습니까? 반드시 필요한 조건입니다.

computability automata-theory turing-machines

— 제레미 쿤
소스

대답하기 전에 "논리 시스템이 자체를 시뮬레이션 할 수 있습니다"라는 의미를 좀 더 구체적으로 설명 할 수 있습니까? "자신의 구문과 확률을 인코딩 할 수 있습니다"와 같은 것을 의미합니까?

— 안드레이 바우어

정확하게 "시뮬레이션"이란 무엇을 의미합니까? 특히, 예를 들어, Game of Life와 같은 맥락에서 시뮬레이션이 여전히 이해가되도록 시뮬레이션을 정의하는 방법은 있지만 질문이 전혀 사소한 것은 아닙니다 (예 : 아무것도하지 않는 기계를 시뮬레이션하는 기계).

— Jukka Suomela

크로스 포스트 : math.stackexchange.com/q/78734/3330

— Raphael

콩이 동시에 교차 게시 강력 cstheory에 낙담되면, 참조하시기 바랍니다 poilicy을 . 추신 :이 질문이 cstheory에 대한 주제인지 확실하지 않은 경우 cstheory의 범위를 이해하려면 FAQ를 확인하십시오.

— Kaveh

"아무것도하지 않는"기계는 스스로를 시뮬레이션 할 수 있습니다.

— 최대

답변:

반드시 그런 것은 아닙니다. 예를 들어, 2 차원 2 개의 상태를 갖는 2 블록 셀룰러 오토 마톤 은, 4 개의 전임자가 정확히 2 개의 인접한 라이브 셀을 가질 때에 만 셀이 활성화되는 2 개의 감속 계수 및 2 개의 크기 블로우 업 계수로 자신을 시뮬레이션 할 수 있지만 튜링 완료로 알려져 있지 않습니다. 참조 B36 / S125 "× 2"실제와 같은 세포 자동자 더이 블록 자동 기계에과이 블록 자동 장치를 시뮬레이션 할 수 무어 인근의 B36 / S125 규칙에 나다니엘 존스턴을.

— 데이비드 엡스타인
소스

기계에 어느 정도의 복잡성이 있다면 어떨까요? 나는 그것이 Turing-completeness와 관련이 없을 것 같아요 ...

— Jeremy Kun

그러나 다시 말하지만, 언급 한 블록 자동 장치는 여전히 튜링 완료 일 수 있습니다. 당신은 그 의미가 사실이 아니라고 말하는 것입니다. 이것이 반례를 나타내는 것은 아닙니다.

— Jeremy Kun

유한 한 수의 라이브 셀을 가진 블록 오토 마톤 상태만을 고려한다면,이 제한으로 여전히 같은 방식으로 자신을 시뮬레이션 할 수 있습니다. 그러나 제한된 오토 마톤은 확실히 튜링이 완벽하지 않습니다. 왜냐하면 어떤 패턴도 경계 다이아몬드를 벗어날 수 없기 때문에 모든 패턴의 운명은 기하 급수적으로 결정될 수 있기 때문입니다.

— David Eppstein 1

아뇨. 나는 불일치 / 튜링 완전성을 피하기위한 두 가지 주요 기술 클래스를 알고 있습니다.

첫 번째 공격은 구문을 산정 할 수 있도록 시스템을 설정하는 것이지만 고델의 고정 점 정리는 거치지 않습니다. Dan Willard는 이에 대해 광범위하게 작업했으며 일관된 자체 검증 논리 시스템을 제공했습니다. 트릭은 곱셈 및 덧셈 함수 기호를 제거하고 나누기 및 빼기로 대체하는 것입니다. 이것은 당신에게 구문을 산술적으로 표현하기에 충분한 마력을 제공하지만, 곱셈이 전체적으로 가능하지 않기 때문에 고정 소수점 정리가 진행되지 않습니다.

Dan Willard를 참조하십시오. 자기 검증 공리 시스템, 불완전 성 정리 및 관련 반영 원칙 . Symbolic Logic 66 (2001), 536-596 쪽.
두 번째 공격 라인에서는 고정 소수점을 더 많이 사용할 수 있지만 구문이 산정되지 않도록 설정합니다. 이를위한 가장 예쁜 시스템은 선형 로직의 변형을 기반으로 한 (IMO)입니다. 예를 들어, Kazushige Terui의 Light Affine Set The 이론에서는 전체가 제한되지 않습니다. 세트 이해 원리 소리가 나지 만 세트 이론의 주변 논리가 선형이므로 수축이 허용되지 않으므로 Russell의 역설을 도출 할 수 없습니다.

산술이 실패하는 직관적 인 이유는 모든 거주자가 다항식 시간이되도록 가벼운 선형 함수 공간 가 설정 되었기 때문입니다. 결과적으로, Peano axioms의 가벼운 선형 버전은 지수 총계를 증명할 수 없으며 (단항 숫자의 지수화는 지수 시간이 걸리기 때문에) 자연수와 비트 스트링 사이에 더 이상 동형이 없습니다. $A \multimap B$

카즈 시게 테루이. 가벼운 아핀 세트 이론 : 다항식 시간의 순진한 세트 이론. Studia Logica, Vol. 77, No. 1, pp. 9-40, 2004.

나는이 논문이 다음의 이브 라 폰트 (Yves Lafont) 논문을 읽은 후에 더 접근하기 쉽다고 생각한다.

Y. 라 폰트, 소프트 선형 논리 및 다항식 시간 , 이론적 컴퓨터 과학 318 (암시 적 계산 복잡성에 대한 특별 문제) p. 163-180, 엘스 비어 (2004)

Terui의 집합 이론은 매우 표현력이 뛰어나지 만 증명 이론 이론 서 수가 매우 약한 시스템을 비교하기에 좋은 도구가 아니기 때문에 전통적인 집합 이론과 비교하기는 어렵습니다. 예를 들어, Terui의 이론은 지수 총계를 증명할 수 없으므로 증명 이론 강도는 최대 도달 할 수 없습니다 . 복잡성 클래스가 더 좋을 것입니다. 폴리 타임에 완벽합니다 (모든 폴리 타임 함수의 총합을 증명할 수는 있지만 더 이상은 아닙니다). $\omega$

나는 이러한 종류의 시스템을 복잡성 이론이 특정 종류의 초 최종의 기초가 될 수 있다는 생각에 대한 개념 증명으로 생각하는 경향이있다.

— 닐 크리슈나 스와미
소스

귀하의 답변이 @Neel 인 것 같습니다. (1) 또는 (2)에 대해 읽을 수있는 좋은 출발점을 제안 해 주시겠습니까? (1)에 대해 배우는 데 약간 더 관심이 있습니다.

— Aaron Sterling

(2)에 더 관심이 있습니다 :이 이론이 얼마나 강력합니까? Quinian "새로운 기초"와 관련이 있습니까?

— 코디

@Neel-재미있는 답변. 나는 또한 Aaron과 같은 것을 원합니다-(1)에 대한 좋은 출발점을 제안 할 수 있습니까? 감사합니다

— Akash Kumar

$i$ $x$ $0$

$M$ $M(\langle \ulcorner M' \urcorner, x \rangle ) = M'(x) = 0$ $M', x$

이것은 분명히 튜링이 완전하지는 않지만 보편적 인 기계를 가지고 있습니다.

— 데이비드 해리스
소스

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나는 투표권 을 얻지 못한 Math.SE의 교차 게시물에 대해 비슷한 대답을했습니다 . :)

— Kaveh

@ Kaveh : 아이러니하게도, 나는이 답변을 당신의 이전의 것으로 잘못 판단했기 때문에 여기서 만 투표하고 편집하고 주석을 달았습니다. 크로스 포스트는 그러한 고통이 될 수 있습니다.

— res

@res, 나는 사이트의 수준이 다른 투표 패턴을 생성한다고 생각합니다. math.se에서 다른 높은 담당자가 대답 한 대답조차 그렇게 많이 투표되지 않았으므로 정상적인 것으로 나타났습니다. :) (또한 여기에 내 대답은 다윗의 대답만큼 명확하고 이해할 수 없습니다.)

— Kaveh