경계 속 그래프의 금지 된 미성년자

및 은 평면 그래프에 대해 금지 된 마이너 인 것으로 잘 알려져있다 . 원환 체에 임베드 가능한 그래프 에는 수백 가지의 금지 된 마이너가 있습니다 . 금지의 개수 미성년자 그래프의이 표면에 임베드 속 g 것은 의 지수 함수 g . 내 질문은 다음과 같습니다. $K_5$ $K_{3,3}$

명시 있는가 그래프 에 대한 T 개의 되도록 정점 (전체 그래프가 아니다) 그래프에 대한 금지 미성년자 속의 표면에 임베드되어 g , t는 의 함수 g는 ? $G_t$ $G_t$

편집 : 다음 정리가 알려져 있음을 깨달았습니다.

모든 표면 Σ에 대해 이 Σ에 포함되지 않는 정수 r 이 존재한다 . $K_{3,r}$

그래서, 내가 찾고 있어요 전체 그래프가 아닌 완전 이분 그래프가 아닙니다. $G_t$

— 시바 킨 탈리
소스

So, you want a nicely-constructed, parameterized, infinite family of graphs (other than complete graphs) that are forbidden minors for surfaces of every genus?

— Derrick Stolee

@Derrick. Yes. Precisely.

— Shiva Kintali

Then I would rephrase the question using those terms: "Is there a (simple to construct) family of graphs

{H_{g} : g \geq 1}

$\{ H_g : g \geq 1\}$ so that

H_{g} ≇ K_{n}

$H_g \not\cong K_n$ is a minimal forbidden minor for graphs embeddable on a genus

g

$g$ surface?"

— Derrick Stolee

및

은

마이너가 아닙니다 "제한 조건이 원하는 값이 될 수 없습니다. 그것들이

마이너가 아닌 경우 ,

는 평면이며, 더 높은 속의 금지 된 마이너가 될 수 없습니다.

K_{5}

$K_5$

K_{3, 3}

$K_{3,3}$

G

$G$

G

$G$

G

$G$

— David Eppstein

@DavidEppstein 수정 사항을 제거했습니다. 기본적으로

및

과 다른 장애물을 찾고 있습니다.

K_{5}

$K_5$

K_{33}

$K_{33}$

— 시바 킨 탈리

$n$ $K_5$ $K_{3,3}$ $n-1$ $K_5$ $K_{3,3}$

$K_8$ $K_7$ $K_8\setminus C_4$ $n$ copies of this graph as their blocks have genus $2n$ .

Mohar also shows that the graph formed from a $(2k+2)$ -cycle by connecting vertex 0 to all the even vertices and vertex 1 to all the odd vertices has "relative genus" at least $\lceil k/2\rceil$ . The graph is planar, but I think relative genus means that the cycle has to be a face; or you could add another vertex to the graph, connected to all of the cycle vertices, to effectively force it to be a face. Maybe this is closer to the sort of thing you want. But I don't think he shows that these graphs are minimal forbidden minors.

— David Eppstein
소스

Your last paragraph about

(2 k + 2)

$(2k+2)$ cycle is what I am looking for. Thanks. I am accepting your answer.

— Shiva Kintali