그러한 매트릭스가 존재할 수 있습니까?

내 작업 중에 다음 문제가 발생했습니다.

나는 찾기 위해 노력하고 -matrix 어떤을 위해, 다음 속성 : $n \times n$ $(0,1)$ $M$ $n > 3$

의 결정 요인 은 짝수입니다. $M$
비어 있지 않은 서브 세트 경우서브 매트릭스 는 경우에만 홀수 갖습니다 . $I,J\subseteq\{1,2,3\}$ $|I| = |J|$ $M^I_J$ $I=J$

여기서 는 인덱스가있는 행과 인덱스가있는 열을 제거하여 생성 된 의 하위 행렬을 나타냅니다 . $M^I_J$ $M$ $I$ $J$

지금까지 무작위 샘플링을 통해 이러한 행렬을 찾으려고했지만 첫 번째 속성을 제외한 모든 속성을 갖는 행렬 만 찾을 수 있습니다. 즉, 행렬에는 항상 홀수 결정자가 있습니다. 나는 다양한 치수와 다른 입력 / 출력 세트를 성공없이 시도했습니다. 그래서 이것은 나를 생각하게합니다 :

요구 사항간에 종속성이있어 동시에 적용되는 것을 방지합니까?

또는

그러한 매트릭스가 존재할 수 있고 누군가 나에게 예를 줄 수 있습니까?

고마워, Etsch

— 에치
소스

임의의 하위 집합 또는 모든 하위 집합을 의미합니까?

— Suresh Venkat

이 보인다 와 서로 충돌 한 임의의 하위 집합에서 을 중지 있는 가 다른 임의의 하위 집합에서 아무것도 없습니다 . 아니면 단일 쌍의 하위 집합 , 하십니까?

det (M_{o_{1}}^{i_{1}}) \equiv 1 (\mod 2)

$\det(M^{i_1}_{o_1}) \equiv 1 \pmod{2}$

det (M_{o_{2}}^{i_{1}}) \equiv 0 (\mod 2)

$\det(M^{i_1}_{o_2}) \equiv 0 \pmod{2}$

o_{1}

$o_1$

o_{2}

$o_2$

{o_{1}, o_{2}, o_{3}}

$\{o_1,o_2,o_3\}$

{i_{1}, i_{2}, i_{3}}

$\{i_1,i_2,i_3\}$

— 피터 쇼어

예, 및 의 두 하위 집합 이 고정되어 있습니다. 예에 대한 일 설정할 수 , , 및 , , 다음 질문은 : A (7 × 7) 매트릭스 있는가 되도록 , , 정의 된 20 개의 속성에 따라 등.

I = {i_{1}, i_{2}, i_{3}}

$\mathcal{I} = \{i_1,i_2,i_3\}$

O = {o_{1}, o_{2}, o_{3}}

$\mathcal{O} = \{o_1,o_2,o_3\}$

n = 7

$n=7$

i_{1} = 1

$i_1 = 1$

i_{2} = 2

$i_2 = 2$

i_{3} = 5

$i_3 = 5$

o_{1} = 2

$o_1 = 2$

o_{2} = 3

$o_2 = 3$

o_{3} = 4

$o_3 = 4$

M

$M$

det (M) \equiv 0 (\mod 2)

$\det(M) \equiv 0\pmod{2}$

det (M_{2, 3, 4}^{1, 2, 5}) \equiv 1 (\mod 2)

$\det(M^{1,2,5}_{2,3,4}) \equiv 1 \pmod{2}$

det (M_{2, 3}^{1, 2}) \equiv 1 (\mod 2)

$\det(M^{1,2}_{2,3}) \equiv 1\pmod{2}$

— Etsch

당신은 수정 할 수 없습니다 , , , , , 질문을 단순화하고 읽기 쉽게 만들기 위해?

i_{1} = 1

$i_1 = 1$

i_{2} = 2

$i_2 = 2$

i_{3} = 3

$i_3 = 3$

o_{1} = 1

$o_1 = 1$

o_{2} = 2

$o_2 = 2$

o_{3} = 3

$o_3 = 3$

— Jukka Suomela

명확성을 위해 편집되었습니다.

— Jeffε

그러한 매트릭스는 존재하지 않습니다.

Desnanot-코비 동일성 에 대해 말한다 , 그렇게 사용 이, 우리의 get 그러나 요구 사항에 따라 왼쪽이 0 (mod 2)이되고 오른쪽이 1 (mod 2)이되어 호환되지 않음을 나타냅니다. $i \neq j$

데트 {미디엄}_{나는 제이}^{나는 제이} 데트 미디엄 = 데트 {미디엄}_{나는}^{나는} 데트 {미디엄}_{제이}^{제이} - 데트 {미디엄}_{나는}^{제이} 데트 {미디엄}_{제이}^{나는}

$\det M_{ij}^{ij} \det M = \det M_i^i \det M_j^j -\det M_i^j \det M_j^i$

데트 {미디엄}_{12}^{12} 데트 미디엄 = 데트 {미디엄}_{1}^{1} 데트 {미디엄}_{2}^{2} - 데트 {미디엄}_{1}^{2} 데트 {미디엄}_{2}^{1}

$\det M_{12}^{12} \det M = \det M_{1}^{1} \det M_{2}^{2} - \det M_{1}^{2} \det M_{2}^{1}$

— 피터 쇼어
소스

좋은! 그러나 이제 질문자가 두 번째 글 머리표만으로 만족할 수 있다고 말했기 때문에 혼란스러워합니다. 실제로 당신이 인용 한 정체성과 모순됩니다.

— 이토 쓰요시

@ 츠요시 : 두 번째 글 머리 기호는 어떻게 정체성과 모순됩니까? 신원 행렬은 만족 두 번째 글 머리 기호를, 그리고 그 확인하기 쉽습니다 만족에게 Desnanot - 코비 ID를. (당신이 취하지 않는 한 , 나는 방금 내 대답에 추가 한 정체성의 조건을 위반합니다.)

I

$I$

I

$I$

i = j

$i = j$

— Peter Shor

죄송합니다. 이전 의견은 허위였으며 생각보다 혼란스러워 보입니다. 문제의 요구 사항이 답의 두 번째 방정식의 왼쪽을 0 mod 2로 강제하는 이유는 무엇입니까?

— 이토 쓰요시

이제 네가 무슨 뜻인지 알 겠어 첫 번째 행과 첫 번째 열을 제거하지 않아도됩니다.

— 이토 쓰요시

@Etsch : 쓸 때 을 생각하고있었습니다 . 지금은 맞다고 생각합니다.

M

$M$

M_{1, 2, 3}^{1, 2, 3}

$M^{1,2,3}_{1,2,3}$

— 피터 쇼어