일반 그래프에서 근사치가 2 미만인 컴퓨팅 거리?

가장자리 가 가중 비 지향 그래프가 주어지면 주어진 정점 쌍 사이의 근사 거리가 2 미만으로 계산되고 싶습니다. 물론, 나는 이차 공간과 아 선형 쿼리 시간을 사용하고 싶습니다. $m = o(n^2)$

행렬 곱셈을 사용하는 Zwick의 결과를 알고 있지만 조합 알고리즘이이 문제로 알려진 경우 궁금합니다.

ds.algorithms graph-algorithms

— 싯다르타
소스

안녕하세요 @Siddhartha, 이것이 바보 같은 질문이라면 죄송합니다 .Zwick 의 결과 는 2 차 공간을 사용하는 것 같습니다. 맞습니까?

— Hsien-Chih Chang 張顯之

또한 가산 오차가 허용됩니까?

— Hsien-Chih Chang 張顯之

@ Hsien-ChihChang 張顯之-곱셈 근사치에만 관심이있었습니다. 덧셈 근사값은 그 자체로 흥미로울 수 있습니다-고밀도 그래프에서는 더 쉽습니다. 스패너를 사용하여 밀도가 충분한 그래프에 대한 가산 근사를 얻을 수 있습니다. 희소 그래프의 경우 스패너는 도움이되지 않습니다.

— Siddhartha

다음과 같은 주장이 효과가 없습니까? 개의 꼭지점과 모서리가 있는 그래프 를 고려하십시오 . 가장자리의 모든 가중치를 . 보다 대략적으로 더 나은 근사를 수행 할 수있는 모든 거리 오라클 은 그래프에 있는지 여부에 관계없이 가능한 모든 모서리를 결정하는 데 사용될 수 있습니다. 그러나 물론 이것은 거리 오라클이 비트를 사용해야 함을 의미합니다 . 아니? (인수는 약간 수동이지만 정확해야합니다.) (공식적으로 비트 수는 . 여기서 입니다. 이것은

G

$G$

n

$n$

m

$m$

1

$1$

2

$2$

Ω (m)

$\Omega(m)$

\log_{2} (\binom{N}{m})

$\log_2 \binom{N}{m}$

N = (\binom{n}{2})

$N=\binom{n}{2}$

\geq m \log_{2} (N / m)

$\geq m \log_2 (N/m)$

— 사리 엘 하르 - 펠 레드

고맙습니다 Sariel- 하한 을 도출하는 것이 가능할 수도 있지만 저는 그것에 만족합니다. 내가 갖고 싶은 것은 아차 공간과 아 선형 쿼리 시간뿐입니다. 가장자리 가 그래프의 경우 하한은 문제에 대해 아무 말도하지 않습니다. 맞습니까?

Ω (m)

$\Omega(m)$

m = o (n^{2})

$m = o(n^2)$

Ω (m)

$\Omega(m)$

— Siddhartha

답변:

내가 아는 한, 이차 공간 및 아 선형 쿼리 시간에서 근사 거리를 2 미만으로 계산 한 결과는 공개되지 않았습니다. 대략적인 거리를 신속하게 검색하기 위해 Baswana와 Kavitha의 "모든 쌍의 가장 짧은 경로에 대한 빠른 알고리즘"의 결과 및 참조를 확인할 수 있습니다 (FOCS 논문의 저널 버전은 관련 작업을 잘 검토합니다). 이들 중 어느 것도 이차 공간을 달성하지 못합니다.

대략적인 거리를 간소하게 검색하려면 위의 두 논문에서 결과와 참조를 확인하십시오. [Gabor의 답변에 덧붙여서 한마디 한마디 : 위의 논문에서 희소성 개념에주의하십시오-근사치 경우 인 경우 그래프는 희박하다고 합니다. 아마 이미 알고]. $2$ $m = o(n^2)$

Sariel이 위의 설명 중 하나에서 지적했듯이 보다 작은 근사 거리를 계산하기위한 공간의 자연 하한 은 , 즉 그래프 크기에서 선형입니다. 쿼리 시간이 제한되지 않으면이 하한을 개선 할 수 없습니다 (사소하게 그래프를 저장하여 최단 경로 알고리즘을 사용할 수 있음). 일정한 쿼리 시간을 위해 두 가지 하한을 알고 있습니다. 첫째, Patrascu와 Roddity는 FOCS 2010 논문에서 미만의 근사값을 적용하는 조건부 하한을 가졌습니다 . 둘째, Sommer et. 알. 매우 드문 그래프에 대한 하한이 있습니다. 나는 다른 (사소한) 하한을 알지 못한다. $2$ $\Omega(m)$ $2$

상한과 관련하여 위의 논문의 결과는 미만의 근사치로 일반화되지 않는 것 같습니다 . 최근이 문제에 대해 진전을 보였습니다. 논문은 곧 ArXiv에 있어야하지만 원하는 경우 이메일을 보내 주시면 기꺼이 공유하겠습니다. $2$

도움이 되었기를 바랍니다.

~ 라 차트 아가 왈

— 라치
소스

Rachit Agarwal의 2011 INFOCOM 논문에 관심이있을 수 있습니다.

Rachit Agarwal, P. Brighten Godfrey, Sariel Har-Peled 근사 거리 쿼리 및 스파 스 그래프의 컴팩트 라우팅, IEEE INFOCOM 2011

초록에서 :

그래프 평균 정도 [A 들어] , 우리의 데이타 구조의 특별한 경우로 스트레칭 2 개 경로를 검색 의 공간 [...]의 비용 쿼리 시간. $\Theta(\log n)$ $O(n^{3/2})$ $O(\sqrt{n})$

그들의 거리 오라클은 희소 그래프만을위한 것이지만, 로그 정도는 그럴듯 해 보인다. 추가 된이 알고리즘은 가중치 그래프에도 적용됩니다.

— 가보 레트 바리
소스

당신은 또한보고 싶어 할 수 있습니다

Pătraşcu, Roditty, Thorup-Zwick 경계를 넘어서는 거리 오라클 , FOCS 2010

그것들은 스트레치 2를 가진 크기의 거리 오라클을 가지고 있습니다. 그것은 일정한 시간에 질의를 지원합니다. $O(n^{5/3})$

— 조 타치 딜
소스

감사! Agrawal과 Mihai의 논문은 내가 놓친 것이 아니라면 "2보다 작은"근사에 대해 아무 말도하지 않는 것 같습니다.

— Siddhartha

그렇지는 않지만 스트레치를 향상시키기 위해 절충점을 얻는 방법에 대한 아이디어를 줄 수 있습니다.

— zotachidil