복합에 대한 에서 방정식 모듈로 를 있습니까?

임의의 k (및 주요한 힘에 특별한 관심을 기울임)에 대해 선형 방정식 modulo k 를 풀기의 복잡성에 관심이 있습니다.

문제. 알려지지 않은 modulo 의 선형 방정식 의 주어진 시스템에 대해 어떤 해가 있습니까?$m$$n$$k$

자신의 종이에 추상에서 구조 및 LOGSPACE-MOD 클래스의 중요성 클래스에 의 MOD _케이 L은 , Buntrock는, 당국이는 Hertrampf 및 Meinel의 주장은 그들이 "고 증명에 의해 자신의 중요성을 보여 모든 표준 유한 링을 통해 선형 대수학의 문제 는이 클래스들에 대해 완성되었습니다$\mathbb Z/k\mathbb Z$ ". 자세히 살펴보면 이야기가 더 복잡합니다. 예를 들어, Buntrock et al. (증명 스케치에 의해 표시 앞에서 자유롭게 접근 초안 , 카베 발견 덕분!) 연립 일차 방정식을 해결하는 상보 클래스 대신임을 coMod의 _{k 값} L 에 대해, K초기. 이 클래스는 같을 수 없다 알려지지 않음 의 MOD _케이 L 에 대한 k 개의 선형 방정식의 시스템을 해결 여부 모드에 대해 내가 무엇에 대해 걱정하는 것은 그들이 어떤 말을하지 않는 것이 사실이다 -하는 마음 복합,하지만 결코 k는 짝수 포함 에 coMod의 _{k 값} L 에 대한 K의 합성!

질문 : 모든 양의 k에 대해 선형 방정식 modulo k의 해가 coMod _k L 에 포함되어 있습니까?

방정식 시스템 에서 소수 p 의 더 높은 전력 q 를 풀 수 있다면, 모듈로 p 도 풀 수 있습니다. 따라서 방정식의 해 를 구하는 modulo q 는 coMod _p L -hard입니다. 이 문제가 Mod _q L 에 있음을 보여줄 수 있다면 , 모든 k에 대해 Mod _k L  =  coMod _k L 를 표시하게됩니다 . 증명하기 어려울 것 같습니다. 그러나 그것은 coMod _k L 입니까?

나는 우리가 긍정적으로이 질문에 대답 할 수 있다고 생각하게되어 기쁘다. 즉, 선형 합동이 실현 가능한 모듈로 k 인지 결정하는 것은 coMod _k L- 완전하다.

우리는 실제로이 문제를 특별한 주요 능력으로 줄일 수 있습니다. 다음을 보여줄 수 있습니다.

일반 양식. 클래스 coMod의 _{k 값} L이 되는 언어의의 구성 L 양식의 L  =  L의 _{P (1)}  ∩  L _{P 2}  ∩ ... ∩  L의 _{P는 R}  , L의 _{피의 J}  ∈  coMod의 _{P는 j 개의}  L 과 P의 _J에 의 소인수 위에 범위 K .

나머지 이론에 의해 k 를 나누는 각각의 주요 거듭 제곱 의 방정식 시스템에 대한 솔루션은 동일한 시스템 mod k 에 대한 솔루션을 제공합니다 . 그래서 연립 일차 방정식을 해결하는 경우 위에 포함된다 coMod _{P는 j 개의}  L , 방정식 해결 시스템을 개조하는 것이 다음 K가 포함된다 coMod의 _유전율 L .$p_{\!j}^{e_j}$$p_{\!j}^{t_j}$

McKenzie와 Cook이 기술 한 선형 합동을 줄임으로써 영 공간에 대한 스패닝 세트를 구성하는 데 주요한 힘을 줄였다 (즉, 주어진 고리에 대한 A x  =  y 의 경우, [ A  |  y 의 영 공간에 대한 기초 구성)   ] -1)의 최종 계수를 갖는 해가 있는지 확인하십시오. 그 후, 널 스페이스 모듈로 프라임의 구성에 대한 널 스페이스 모듈로 프라임의 구성, 및 매트릭스 곱셈 모듈로 프라임의 구성을 감소시키기 위해. 후자의 작업은 관련된 행렬을 구성 할 수 있다면 coMod _k L에 가능한 문제입니다 .

McKenzie와 Cook의 감소와 관련된 행렬은 행렬 곱셈과 (비평 적으로) 일정한 인자로 나눌 수 있습니다. 다행스럽게도, 주요한 힘의 경우, 관련된 매트릭스의 계수는 coMod _p L -machine 을위한 오라클을 사용하여 작업 테이프에서 계산 될 수 있습니다 . 상수에 의한 나누기는 NC ¹ 에서 수행 될 수 있으며 , 이는 다시 coMod _p L 에서 가능하다 . 따라서 전체 문제는 궁극적으로 coMod _k L 에서 가능 하다는 것이 밝혀졌습니다 .

자세한 내용은 [ arxiv : 1202.3949 ]를 참조하십시오 .