하위 모듈 함수 분해

submodular 함수 감안 에 및 해체되고, . 여기서 과 는 각각 과 에서 하위 모듈 식 입니다. $f$ $\Omega=X_1\cup X_2$ $X_1$ $X_2$ $f(S)=f_1(S\cap X_1)+f_2(S\cap X_2)$ $f_1$ $f_2$ $X_1$ $X_2$

여기서 는 알 수 대한 값 쿼리 액세스 만 제공됩니다. 그런 다음 을 찾는 polytime 알고리즘이 있습니까 ? 대해 여러 가지 선택이 있으면 아무 문제가 없습니다. $X_1,X_2,f_1,f_2$ $f$ $X_1$ $X_1$

몇 가지 생각. 우리가 두 요소 찾을 수 있다면 둘 다 에 속하거나 속할 수 있습니다. 그러나 그러한 단계를 구현하는 방법은 명확하지 않습니다. $t_1,t_2$ $X_1$ $X_2$

ds.algorithms submodularity

— 애쉬 윈 쿠마르 BV
소스

당신은 말을 의미합니까 그 곳 및 에 submodular 있습니다 및 각각?

f (S) = f_{1} (S \cap X_{1}) + f_{2} (S \cap X_{2})

$f(S) = f_1(S \cap X_1) + f_2(S \cap X_2)$

f_{1}

$f_1$

f_{2}

$f_2$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

— 찬드라 체 쿠리

그렇습니다. 오타를 지적 해 주셔서 감사합니다. 수정하겠습니다.

— Ashwinkumar BV 5

아래에서 말하는 내용이 올바른지 확실하지 않지만 여기에 아이디어가 있습니다. 임의의 요소 가져옵니다 . 경우 다음 우리가 선택할 수 있도록 요소의 나머지 부분에 영향을받지 않습니다 및 . 그렇지 않으면 가 와 같이 의 포함 적으로 최소한의 하위 집합이 . 그런 다음 는 동일한 파티션에 있어야하므로 세트를 단일 요소로 축소하고 보다 엄격하게 작은 경우 재귀 할 수 있습니다. 그렇지 않으면 원하는 파티션이 존재하지 않는다고 결론을 내립니다.

e \in Ω

$e \in \Omega$

f (e) = f_{Ω - e} (e)

$f(e) = f_{\Omega-e}(e)$

e

$e$

X_{1} = {e}

$X_1 = \{e\}$

X_{2} = Ω - {e}

$X_2 = \Omega-\{e\}$

X

$X$

Ω - e

$\Omega-e$

f (e) > f_{X} (e)

$f(e) > f_X(e)$

X \cup {e}

$X \cup \{e\}$

Ω

$\Omega$

— 찬드라 체 쿠리

의견에 답변하기로 결정했습니다.

— 찬드라 체 쿠리

임의의 요소 가져옵니다 . 경우 다음 우리가 선택할 수 있도록 요소의 나머지 부분에 영향을받지 않습니다 및 . 그렇지 않으면 가 와 같이 의 포함 적으로 최소한의 하위 집합이 . 그러면 는 같은 파티션에 있어야합니다. 만약 우리는 그렇지 않으면 우리는 하나의 요소와 같이 Recurse으로이 세트를 축소, 파티션이 원하는 어떤 것을 결론 없습니다. $e \in \Omega$ $f(e) = f_{\Omega-e}(e)$ $e$ $X_1 = \{e\}$ $X_2 = \Omega-\{e\}$ $X$ $\Omega-e$ $f(e) > f_X(e)$ $X \cup \{e\}$ $X \cup \{e\} = \Omega$

— 찬드라 체 쿠리
소스