평면 그래프에서 공통 소스를 사용하여 최소-최대 정점 분리 경로 찾기

평면 가중 그래프 정점 쌍의 컬렉션을 감안 ( 상수) 찾을 로부터 경로 (소스 제외) 정점 이산을 하는 이러한 가장 긴 경로의 길이가 최소화됩니다.$(s,t_1),\dots,(s,t_k)$$k\ge2$$k$$s$$t_i$

질문 : 문제에 대한 다항식 시간 알고리즘이 있습니까?

관련 결과 :

• 만약 문제가 해결되지 않고있다 NP 하드 하더라도 ;$k$$t_1=\dots=t_k$
• 입력 그래프에 가중치가 부여되고 경로 소스가 일치하지 않는 경우, 즉 경로가 경우에도 문제는 NP-hard입니다 .$(s_1,t_1),\dots,(s_k,t_k)$$k=2$

• 경로 길이의 합을 최소화하는 다른 목표의 문제는

  • 일치하는 소스를위한 최소 비용 흐름 알고리즘으로 해결 가능;
  • 비 코팅 소스 용 NP-hard 및 일반 ;$k$
  • 비 일치 소스와 일정한 열리지 .$k$

이것은 정확히 당신이 요구 한 것이 아니지만 k 가 상수가 아니라 입력의 일부 라면 문제는 NP 완료 입니다.

이 말한다 홀스트 데르 피나 [HP02] 드 밴 정리 1의 증명에서 다음과 평면 그래프 주어진 G , 별개의 정점 들 과 t 의 G 및 포지티브 정수 K 와 B , 결정하는 NP-완료 존재 여부 K 간의 쌍대 내부 정점 이산 경로 들 및 에서 t 이하인 길이를 각각 B .

정리 1의 진술에서 문제는 두 가지 측면에서 당신과 다르다는 점에 유의하십시오. 한 가지 차이점은 앞에서 언급했듯이 k 가 입력의 일부로 제공 된다는 것 입니다. 다른 하나는 [HP02]의 문제는 공통 소스 및 다른 싱크가있는 경로 대신 공통 엔드 포인트가있는 경로에 관한 것입니다. 첫 번째 차이점을 해결하는 방법을 모르겠습니다. 차이가 너무 커서 k 를 고치기 위해 완전히 다른 증거가 필요할 것입니다 . 그러나 적어도 두 번째 차이점을 해결하는 방법을 알고 있습니다.

[HP02]의 정리 1의 증거는 3SAT에서 축소를 제공합니다. 이 축소는 다음과 같은 속성을 갖습니다. 축소에 의해 구성된 인스턴스 ( G , s , t , k , b )에서 정점 t 의 정도 는 항상 k와 같습니다 . t ₁ ,…, t _k 를 t 의 k 이웃 이라고하자 . 그런 다음 최대 길이 b 의 s 와 t 사이에 k 쌍의 내부 정점 분리 경로 가 있는지 묻는 대신우리는 동일 페어 정점 이산을 제외한 소스 경로가 있는지 여부를 요구할 수 P ₁ , ..., P가 _k는 각되도록 P _난 간의 경로 들 과 마에 _I을 최대로 길이 (B) -1.

H. 반 데어 홀스트 및 JC 데 피나. 평면 그래프에서 길이가 제한된 분리 경로. 이산 응용 수학 , 120 (1–3) : 251–261, 2002 년 8 월. http://dx.doi.org/10.1016/S0166-218X%2801%2900294-3