최단 경로에 대한 공리

무 방향 가중치 그래프 $G = (V, E, w)$ (음이 아닌 가중치 포함) 가 있다고 가정 합니다. 모든 최단 경로 $G$ 가 고유 하다고 가정 해 봅시다 . 이 경로 (가중치되지 않은 모서리의 순서)가 있지만 모르는 경우 $\binom{n}{2}$ $G$ 자체를 . 이 경로를 다항식 시간으로 가장 짧은 를 생성 할 수 있습니까 ? 약한 버전 : 그러한 가 존재 한다면 다항식 시간으로 결정할 수 있습니까? $G$ $G$

필요한 필수 조건은 다음과 같습니다. 모든 경로 쌍에 대해 교차점이 경로입니다. 이 조건이 충분합니까?

— 일리 아즈
소스

입력에 대해 혼란스러워해야합니다. 가장 짧은 경로의 합집합에 사이클에 두 개의 정점

가있는 경우 두 경로 사이에 두 경로가 있어야합니다 (필수적으로 가장 짧음). 하나는 다른 경로보다 짧아야합니다. 고유성 조건

u, v

$u,v$

— Suresh Venkat

@Suresh : 나는 당신이 무엇을 얻고 싶어하는지 모른다. 그래프 G가 완전한 그래프 인 경우 두 정점 사이의 고유 한 최단 경로는 단일 모서리이며 이러한 최단 경로의 합집합은 완전한 그래프입니다.

— 이토 쓰요시

가중 그래프 재구성에 대한 대답은 '아니요'라고 생각합니다. 입력에서 가장자리가 누락되면 실제로 (a) 그래프에서 누락되거나 (b) 실제로 매우 높은 무게의 가장자리가 될 수 있기 때문입니다. 무게가없는 버전이 더 재미 있다고 생각합니다. 또한 왜 우리가 찾고자하는 그래프에 가중치가 부여되고 경로에 가중치가 부여되지 않습니까?

— Artem Kaznatcheev

최단 경로의 합집 합시다 .

가 이와 같은 최단 경로를 생성하는 그래프가 아닌 이유 가 있습니까? 즉, 주어진 가장 짧은 경로가

에서 가장 짧은 경로가 아닌 경우 가장 짧은 경로 인 그래프가없는 경우가 아닙니까?

H

$H$

H

$H$

H

$H$

— Sasho Nikolov

@SashoNikolov 가장자리에 어떤 무게를 할당해야합니까?

— ilyaraz

답변:

방금 조명 검색을 수행하는 동안이 오래된 질문을 우연히 발견했으며 최근 에이 논문 에서 공유 할 수있는 답변을 얻었습니다 . 나는 스레드 괴사와 자기 진흥의 조합이 용서되기를 바랍니다.

이 경로를 다항식 시간으로 가장 짧은 G를 생성 할 수 있습니까? 약한 버전 : 그러한 G가 존재한다면 다항식 시간으로 결정할 수 있습니까?

대답은 둘 다 그렇습니다. Mohammad의 알고리즘은 확실히 작동하지만 입방체 분리 오라클을 실행할 필요가없는 더 빠르고 직접적인 방법이 있습니다. 하자 보조 가중 무향 그래프, 각 에지의 무게 일 $H = (V, E, w')$ $e \in E$ 의 개수를 나타내는 정수이고, 입력에서 가져온 경로에는 해당 모서리가 포함됩니다. 이제,각 쌍의 노드 사이에서 동시에 1 단위의 흐름을 밀어내는 것이 목표 인(가장자리 가중치를 용량으로 해석)를 통한 가장자리 용량의 다중 상품 흐름 인스턴스를 고려하십시오. 분명히,이 MC 흐름 인스턴스는 입력에 주어진 경로를 따라 자연스럽게 흐름을 밀어서 만족시킬 수 있습니다. 결과적으로 우리는 $n \choose 2$ $H$ 경로는MC 흐름 인스턴스를 충족시키는유일한방법 인경우일부에서 가장 짧은 경로입니다. 우리는 MC 흐름 타당성에 대한 일반적인 제약과 신중하게 선택된 특정 목적 함수를 가진 LP를 설정하여 고유성을 테스트할 수 있으며만족스러운의 간선 가중치를이 LP의 이중에서 추출 할 수 있습니다. $n \choose 2$ $G$ $G$

필요한 필수 조건은 다음과 같습니다. 모든 경로 쌍에 대해 교차점이 경로입니다. 이 조건이 충분합니까?

이 조건을 "일관성"이라고도합니다 (두 경로의 교차점이 각각의 하위 경로 인 경우 경로 집합이 일치 함). 위에서부터 일관성이 충분하지 않습니다. 가장 작은 두 가지 반대 예 중 하나는 6 개의 노드에 걸쳐 4 개의 경로로 구성된 다음과 같은 색상으로 구분 된 시스템입니다.

$n \choose 2$

이 모든 것에 대한 세 가지 다른 빠른 의견 :

무향 그래프보다는 방향 그래프 설정에서 모두가 기대할 수있는 유사한 진술,
이 이론에 대한 훌륭한 토폴로지 해석이있어 최단 경로를 구성하는 방법에 대한 통찰력과 직관을 얻을 수 있습니다.
기술적 인 이유 때문에 이론은 무 방향 또는 (순환) 지향 그래프보다는 DAG 설정에서 편리하게 단순화됩니다.

— GMB
소스

LP로 문제를 작성할 수 있습니까? 두 개의 정점 u, v 및 u에서 v까지의 경로 P의 경우 P의 가중치는 u와 v 사이의 주어진 가장 짧은 경로의 가중치보다 크거나 같습니다. 이들은 모두 선형 불평등이며 기하 급수적으로 많은 분리 문제는 P에 있습니다 (모든 쌍의 최단 경로 문제 일뿐입니다). 따라서 Ellipsoid 알고리즘을 사용하여 해결할 수 있습니다.

— 모하마드
소스