n 개의 입력 비트의 AND 및 OR를 동시에 계산하는 데 필요한 이진 게이트 수

입력 비트 의 AND와 OR를 동시에 계산하는 데 필요한 최소 이진 게이트 수는 얼마입니까? 사소한 상한은 입니다. 나는 이것이 최적이라고 생각하지만 이것을 증명하는 방법은 무엇입니까? 표준 게이트 제거 기술은 입력 변수 중 하나에 상수를 할당하여 출력 중 하나를 트리 비아 리즈하는 것처럼 작동하지 않습니다. $n$ $2n-2$

이 문제는 Ingo Wegener의 "부울 함수의 복잡성"책에서 약간 다른 형식으로 5.12 연습으로 제시됩니다. " . 제거 방법을 사용하면 크기의 하한 만 증명할 수 있습니다 . 더 큰 하한을 증명해보십시오. " $f_n(x) = x_1\dots x_n \lor \bar{x}_1 \dots \bar{x}_n$ $n+\Omega(1)$

cc.complexity-theory lower-bounds circuit-complexity

— 알렉산더 S. 쿨리 코프
소스

@Ryan : AND 의 OR에 관한 것이 아니라 AND 와 OR 에 관한 질문입니다 . 하지만 사샤의 질문에 대한 답은 모르겠습니다.

— 이토 쓰요시

@TsuyoshiIto 고마워, 어떻게 든 잘못 구문 분석했습니다. 그것은 확실히 사소 문제 - 하나 이상의 이점을 얻을 게이트의 다른 종류를 사용하여 상상할 수

2 n - 2

$2n-2$

— 라이언 윌리엄스

@Sasha, 이전 논문의 일부 에서처럼 SAT 솔버를 작은 예제 (

)에 적용 해 보셨습니까 ?

n = 4

$n=4$

— 라이언 윌리엄스

@Ryan 그렇습니다. 우리가 아는 것은

입니다. 이것은 책의 함수이다 (그것은이다

모든 IFF에

입력 비트가 동일). 이 같은 성장

. 크기의 회로

구성하는 쉽다 : 제 계산

모두

C_{3} = 3

$C_3=3$

C_{4} = 5

$C_4=5$

C_{5} \leq 7

$C_5 \le 7$

1

$1$

n

$n$

2 n - 3

$2n-3$

2 n - 3

$2n-3$

x_{i} \equiv x_{i + 1}

$x_i \equiv x_{i+1}$

(

게이트), 그리고 이들의 연결 (

게이트)을 계산합니다.

i = 1, \dots, n - 1

$i=1,\dots,n-1$

(n - 1)

$(n-1)$

(n - 2)

$(n-2)$

— Alexander S. Kulikov

@Tsuyoshi : 나는이라고 생각

질문 번째 함수 게이트 사샤의 함수 (

)을 구축 할 수

XNOR 게이트 (

적용됨 ) 및

AND 게이트가 XNOR에 적용됩니다.

2 n - 3

$2n-3$

f_{n} (x) = x_{1} \dots x_{n} \lor {\bar{x}}_{1} \dots {\bar{x}}_{n}

$f_n(x) = x_1\dots x_n \lor \bar{x}_1 \dots \bar{x}_n$

n - 1

$n-1$

x_{i}, x_{i + 1}

$x_i,x_{i+1}$

n - 2

$n-2$

— Marzio De Biasi

답변:

이 Blum & Seysen 백서가 유용 할 수 있습니다.

N.Blum, M. Seysen. AND와 NOR의 동시 계산을위한 모든 최적 네트워크의 특성 분석 . 액타 산업 21 : 171-181 (1984)

나는 Blum & Seysen의 방법을 사용하여 하한을 얻을 수 있다고 생각했지만, 그렇지 않은 것 같습니다. $x_1\dots x_n\vee \bar{x}_1\dots\bar{x}_n$ $2n-c$

— 블라디미르 리시 코프
소스

Blum 및 Seysen 논문의 공개 PDF 버전이 있습니까?

— Marzio De Biasi

@ 블라디미르, 참조 주셔서 감사합니다! 이 경우 기사를 찾을 때 해당 방법이 적용 가능한지 확인하려고합니다.

— Alexander S. Kulikov

@Vladimir, 다시 한번! 실제로,이 논문은 내 질문에 대한 답을 훨씬 더 정확하게 포함합니다. AND와 OR를 동시에 계산하려면

필요 하고이 크기의 회로는 AND와 OR을 독립적으로 계산합니다 (흥미 롭습니다). 이 표시하는 것도 어렵지 않다 그

2 n - 2

$2n-2$

C (f_{n}) \geq C (A N D, O R) - c \geq 2 n - c^{'}

$C(f_n) \ge C(AND,OR)-c \ge 2n-c'$

— Alexander S. Kulikov

@Sasha, 예, 나는이 간단한 구성을 놓쳤습니다. 및 용지에, 일을 명확히하기 위해 NOR 기능을 고려, 그래서위한 AND 및 OR 우리가 얻을 수

낮은 하나 개의 게이트를 변경하여 및 행

---

2 n - 2

$2n-2$

x_{1} \dots x_{n} \lor {\bar{x}}_{1} \dots {\bar{x}}_{n}

$x_1\dots x_n\vee \bar{x}_1\dots \bar{x}_n$

2 n - 5

$2n-5$

— 블라디미르 리시 코프

단지 @SashaK를 상기시켜줍니다. 답변이 마음에 들면 투표 수 아래에있는 체크 표시를 클릭하여 "수락"하십시오.

— Suresh Venkat

귀하의 질문은 최소 비교 횟수를 사용하여 목록의 최소값과 최대 값을 동시에 계산하는 것에 대한 잘 알려진 질문과 관련이 있습니다. 이 경우 정답은 입니다. $3\lfloor n/2 \rfloor$

상한을 입증하는 영리한 알고리즘은 비교 중 하나가 최소값과 최대 값을 모두 계산하기 때문에 동일한 경계 값을 가진 AND / OR 회로로 변환됩니다.

그러나 (적대적 주장에 의해 주어진) 하한은 적어도 모노톤 회로의 경우에 (AND / OR 회로가 최대 / 최소 알고리즘으로 변환되기 때문에) 변환하는 것처럼 보입니다. 이것은 하한이 합니다. 적대적 논증을 분석하여 확실한 하한을 확보 할 수 있습니다. $3\lfloor n/2 \rfloor$

The upper bound appears in "Introduction to Algorithms", where you can also find the easy argument showing that max/min comparator circuits are valid iff they work for boolean inputs (use an appropriate threshold). The lower bound can be found e.g. here.

— Yuval Filmus
소스

Note in Sasha's question, all 2-bit Boolean functions can be used to construct the circuit.

— Ryan Williams

Yes, it is not clear how the lower bound can be translated to the case of all binary functions.

— Alexander S. Kulikov