다항식 시간에 최소 너비 트리 분해

잘 알려진 바와 같이, 그래프의 트리 분해 트리 구성 T 연관된 가방 T V ⊆ V ( G ) 각 정점에 대한 V ∈ V ( T ) ,하기 요건을 만족하는 :$G$$T$$T_v \subseteq V(G)$$v \in V(T)$

1. 모든 정점은 T의 일부 백에서 발생합니다 .$G$$T$
2. 모든 모서리에는 모서리의 양쪽 끝 점이 포함 된 백이 있습니다.$G$
3. 각 정점 함유하는 봉지 V는 의 서브 트리 연결된 유도 T를 .$v \in V(G)$$v$$T$

또한 분해에서 leanness 라고하는 다음 조건을 요구할 수도 있습니다 .

• 가방의 모든 쌍을 위해 , T의 B 의 T , 경우 ⊆ T 와 B ⊆ T의 B 와 | A | = | B | = k 이면 a) G에 k 개의 꼭짓점-분리 된 A - B 경로가 있거나 b) 트리 T 는 노드 a 에서 노드 b 까지의 경로에서 가장자리 p q 를 포함합니다 | V $T_a$$T_b$$T$$A \subseteq T_a$$B \subseteq T_b$$|A| = |B| = k$$k$$A-B$$G$$T$$pq$$a$$b$ 이고 설정된 V ( T p ) ∩ V ( T q ) 는 G의 모든 A - B 경로와교차합니다.$|V(T_p) \cap V(T_q)| \leq k$$V(T_p) \cap V(T_q)$$A-B$$G$

로빈 토마스 (Robin Thomas) 는 항상 최소 너비의 트리 분해가 가능 하며이 사실에 대한 간단한 증거는 Patrick Bellenbaum & Reinhard Diestel과 같은 몇몇 저자들에 의해 제공되었다 .

그래프 제공 : 내가에 관심은 다음과 같다 와의 최소 폭 트리 분해 G는 , 우리는 최소 폭 찾을 수 있습니다 린 의 트리 분해 G 다항식 시간을?$G$$G$$G$

언급 된 두 가지 증거는 그러한 효율적인 구성을 제공하지 않습니다. Bellenbaum and Diestel의 논문에서 "토마스의 정리에 대한 또 다른 (더 건설적인) 짧은 증거는 P. Bellenbaum, Schlanke Baumzerlegungen von Graphen, Diplomarbeit, Universitat Hamburg 2000에서 주어졌다"고 언급되어 있습니다. 아아, 나는 온라인으로 원고를 찾을 수 없었고 나의 독일어는 그렇게 크지 않습니다.

다음은 P = NP가 아닌 한 문제가 다중 시간으로 해결할 수없는 공식적인 이유입니다. 주어진 그래프의 트리 폭을 찾는 것이 NP-Hard라는 것을 알고 있습니다. 그래프 가 주어지면 크기 V ( G ) + 1 의 불연속 클릭을 추가 하여 새로운 그래프 G ' 를 만들 수 있습니다 . G ' 의 최소 ​​너비 트리 분해는 다음과 같이 얻을 수 있습니다. 하나는 백의 모든 노드를 포함하고 다른 하나는 G의 모든 노드를 포함하는 두 개의 노드를 갖습니다 . 이제이 트리 분해를 린으로 만들려면 부산물로 G 의 트리 폭을 제공하는 원래 그래프 G 의 린 트리 분해를 찾아야 합니다.$G$$V(G)+1$$G'$$G'$$G$$G$$G$