심판과의 의사 소통의 복잡성

두 명의 플레이어 A (lice)와 B (ob)와 R (eferee)이있는 의사 소통 복잡성의 프레임 워크를 가정합니다. A와 B는 서로 직접 통신하지 않습니다. 각각의 통신 라운드에서, 그들 각각은 메시지 ( , )를 R로 전송한다. R은 두 함수 및 하고 그 결과를 그들에게 전송한다. 기능이 수정되었습니다. 아이디어는 플레이어 간의 통신이 제한된다는 것입니다. 또한 심판은 메시지를 처리 ​​할 수도 있습니다.$m_A$$m_B$$f_A(m_A,m_B)$$f_B(m_A,m_B)$

예:

A와 B는 두 개의 (임의의 큰) 숫자를 R에 보내고, R은 그 중 큰 숫자를 확인하고 플레이어에게 알립니다.

이 프레임 워크에서는 단일 라운드를 사용하여 다음 함수를 쉽게 계산하는 간단한 프로토콜을 설계 할 수 있습니다. A와 B는 와 를 R로 보내고 R은 답을 반환하고 답을 출력합니다.$x$$y$

우리가 계산하는 기능이 심판 기능과 동일하기 때문에 이것은 흥미로운 사례가 아닙니다. 더 흥미로운 경우는 고정 선형 불평등 있고 변수 값이 플레이어간에 분할 된 경우입니다 (A 보유 및 B가 가지고 ). 작업은 불평등이 올바른지 결정하는 것입니다. 이 경우 프로토콜은 플레이어가 자신의 역할을 계산 한 다음 심판에게 보냅니다.$\vec{a} \cdot \vec{x} \leq \vec{b} \cdot \vec{y}$$\vec{x}$$\vec{y}$

질문:

이런 종류의 의사 소통 복잡성이 연구 되었습니까? 그렇다면 어디서 더 찾을 수 있습니까?

참고 1 : 49 페이지의 Kushilevitz와 Nisan은 심판과 관련이 있지만 내가 요청한 것과는 매우 다른 프레임 워크를 언급합니다.

참고 2 : R에게 심판을 부르는 것이 옳은지 잘 모르겠습니다. 더 나은 제안이 있으면 의견을 말하십시오.

나는 당신이 다음 논문을 알고 있다고 확신하지만 다른 독자들이 관심을 가질 수 있기 때문에 나는 그것에 링크를 넣었습니다 : 게임에 의한 보간

이 논문은 통신 복잡성 프레임 워크를 사용하여 절단면의 하한을 보여 주려는 시도입니다. 이 프로토콜은 만족스럽지 못한 CNF에 대한 보간 회로를 생성하는 데 사용됩니다 :

플레이어 는 입력 와 를 받고 플레이어 는 와 얻습니다 . 절단면에 얕은 나무 모양의 증거가있는 경우 두 플레이어는 다음과 같은 통신 프로토콜을 갖습니다.$A$$a$$y^a$$B$$b$$z^b$

• 모든 의사 소통은 심판에 의해 중재되며, 이는 증거의 불평등을 평가하는 데 도움이됩니다.
• 의사 소통량이 적습니다 (나무가 얕습니다).
• 두 선수 는 위조 된 또는 결정합니다 .$A$$B$
• 그들은 위치 를 찾습니다 .$i$$a_i \not= b_i$

심판은 불평등에 대한 확률 론적 프로토콜로 바뀐다. 이러한 방식으로, 통신 복잡성 프레임 워크에서 트리 형 확률 적 프로토콜에 대한 하한을 트리 형 절단면 교정에 대한 하한으로 전환하는 것이 가능하다.

만약 우리가 PLS 형태의 통신 프로토콜에 대한 하한을 가지고 있다면, 멍 같은 절단면 교정에 대한 하한을 얻게 될 것입니다.

이 기법은 절단면의 실제 추론 규칙에 의존하지 않습니다. 추론 규칙을 (1) 양의 조합 (2) 바닥과 정수 나누기로 가정하면 Pavel Pudlák 인수를 사용하여 모노톤 보간 회로를 만들 수 있습니다 .

발언이 거의 없습니다. 첫째, 왜 우리가 심판이 필요한지 알 수 없습니다. 자신의 기능이 선수에게 알려져 있다면 왜 심판을 시뮬레이션 할 수 없습니까? 앨리스 전송 밥 (보지 않고 그 ) 계산 그 계산이 후, 앨리스에게 그 결과를 알려준다. 아마 당신은 가정 되어 있지 밥으로 알려져 있으며, 앨리스? $m_A$$m_A$$m_B$$f(m_A,m_B)$$f_A$$f_B$

둘째, 선형 불평등과 관련된 프로토콜은 절단면 교정의 맥락에서 실제로 흥미 롭습니다. 이 경우 메시지 형식 이 매우 제한된 프로토콜을 고려하면 충분합니다 . 입력 변수의 일부 선형 조합 값만 전달할 수 있습니다.

좀 더 정확하게 말하면 정수 계수를 가진 선형 불평등 시스템이 있다고 가정하십시오. 우리는 시스템이 전혀없는 것을 알고 - 솔루션을. 변수는 어떻게 든 플레이어들 사이에서 분리됩니다 (50 가지 방식). 이것이 "가장 최악의 파티션"시나리오입니다. 공격자는 "가장 최악의"파티션을 선택할 수 있습니다. 주어진 - 문자열, 선수의 목표는 만족 불평등을 찾는 것입니다. 즉, 답은 이제 단일 비트가 아니라 시스템의 한 부등식의 이름입니다. (Karchmer-Wigderson 방식의 커뮤니케이션 게임입니다.)$0$$1$$0$$1$

이제 그러한 게임에 대해 다음과 같은 제한된 프로토콜을 고려하십시오. (i) iff 인 경우 심판 기능 , (ii) 플레이어의 메시지가 선형 메시지로 제한됩니다 . 각 라운드에서 Alice는 형식의 메시지를 보내야 하며 Bob은 형식의 메시지를 .$f(\alpha,\beta)=1$$\alpha \leq \beta$$m_A(\vec{x})=\vec{c}\cdot \vec{x}$$m_B(\vec{y})=\vec{d}\cdot \vec{y}$

Impagliazzo, Pitassi 및 Urquhart (1994) 는 다음을 관찰했습니다. 절단면 교정에 사용 된 모든 계수가 변수 수에서 다항식 이고이 게임에 비트의 통신 이 필요한 경우 모든 나무와 같은 주어진 시스템은 부등식을 생성해야합니다 . 그런 다음 통신 복잡성에 대해 알려진 하한을 사용하여 지수 크기 증명이 필요한 명시 적 시스템을 제공했습니다. 이 결과의 단점은 시스템이 매우 인공적 이며 "실제"최적화 문제에 해당하지 않는다는 것입니다. 따라서 "실제"최적화 문제에 대한 하한값을 제시하는 것은 흥미로운 질문입니다. $t$$\exp(t/\log n)$

이러한 문제 중 하나는 그래프에 대한 독립 집합 문제입니다. 그래프 가 주어지면 각 정점 와 변수 연관 시키고 부등식 및 모든 부등식 부등식 시스템을 의 모든 에지에 대해 의 . 모든 이후 - 후자 부등식의 서브 시스템에 대한 솔루션의 독립 세트 제공 , 전체 시스템에는 제로 한 해결책이 없다. 그러한 시스템에서 게임의 통신 복잡성은 무엇입니까?$G=(V,E)$$u$$x_u$$\sum_{v\in V}x_v>\alpha(G)$$x_u+x_v\leq 1$$uv$$G$$0$$1$$G$

우리의 그래프 가 이분이면, (적의 경우) 변수를 부분에 따라 나누는 것이 당연합니다. 이 경우 Alice는 서브 세트 , Bob은 서브 세트 을 얻습니다. 입니다. 목표는 와 사이 경계를 찾는 것입니다 . 여기서 는 "이분자"독립 수입니다. 또는 에 완전히 속하지 않는 독립 세트의 최대 크기입니다 . 내가 가장 좋아하는 문제 중 하나는 다음과 같습니다. 비트의 통신 이 필요한 그래프가 존재 함을 증명하십시오 . $=(L\cup R,E)$$A\subseteq L$$B\subseteq R$$|A\cup B|>\alpha(G)$$A$$B$$\alpha(G)$$L$$R$$n\times n$$\omega(\log^2 n)$

@Kaveh : 궁금한 점이 있으면 질문에 "답변"하십시오.