Eppstein의 알고리즘으로 k 개의 최단 경로 찾기

이 백서 의 Eppstein 알고리즘에 따른 경로 그래프 $P(G)$ 의 작동 방식과 해당 힙 구성 H ( G )를 사용하여 s 에서 t 까지 k 개의 최단 경로를 재구성하는 방법을 알아 내려고 노력 중 입니다.$k$$s$$t$$H(G)$

지금까지:

$out(v)$ 정점 떠나는 모든 모서리 포함$v$ 그래프에서$G$ 의 최단 경로에 포함되지 않은$G$ . 이 경로는 가장 짧은 경로의 가장자리 대신이 가장자리를 사용할 때 δ ( e ) 라는 "시간 낭비"에 따라 힙 순서가 지정됩니다$\delta(e)$. Dijkstra를 적용하여 t 에서 모든 꼭지점까지의 최단 경로를 찾습니다$t$.

모서리의 길이 + (헤드 정점의 값 (직접 에지가 가리키는 위치)-꼬리 정점의 값 (직접 에지가 시작되는 위치)을 취하여이를 계산할 수 있습니다. > 0 인 경우) 최단 경로에 있지 않은 경우 = 0이면 최단 경로에 있습니다.$> 0$$= 0$

이제 2 최소 힙 구축 H O U t ( V ) 에지들의 집합을 heapifying 의해 O를 U t ( V ) 자신에있어서 δ ( E ) 임의의 용 V ∈ V 루트, O u는 t는 r에 O O t ( v ) 에는 하위 항목이 하나만 있습니다 (= 하위 트리).$H_{out}(v)$$out(v)$$\delta(e)$$v \in V$$outroot(v)$

H T ( v ) 를 만들기 위해 터미널 정점 t 에서 시작하는 H T ( n e x t T ( v ) )에 o u t r o o t ( v ) 를 삽입 합니다. 삽입하는 동안 정점을 만질 때마다 * 로 표시됩니다 .$H_T(v)$$outroot(v)$$H_T(next_T(v))$$t$$*$

Now I can build $H_G(v)$ by inserting the rest of $H_{out}(w)$ in $H_T(v)$. Every vertex in $H_G(v)$ contains either $2$ children from $H_T(v)$ and $1$ from $H_{out}(w)$ or $0$ from the first and $2$ from the second and is a 3-heap.

With $H_G(v)$ I can build a DAG called $D(G)$ containing a vertex for each $*$-marked vertex from $H_T(v)$ and for each non-root vertex from $H_{out}(v)$.

The roots of $H_G(v)$ in $D(G)$ are called $h(v)$ and they are connected to the vertices they belong to according to $out(v)$ by a "mapping".

So far, so good.

이 논문은 I 구축 수 있다고 P ( G를 ) 루트 삽입하여 R = R ( S )을 하고,이 연결 H ( S ) 과 함께 inital 가장자리 δ ( H ( S ) ) . D ( G ) 의 꼭짓점은 P ( G ) 에서 동일 하지만 가중치는 없습니다. 가장자리 길이가 있습니다. 그런 다음 각 방향 모서리 ( u , v ) ∈ D ( G $P(G)$$r = r(s)$$h(s)$$\delta(h(s))$$D(G)$$P(G)$$(u,v) \in D(G)$ the corresponding edges in $P(G)$ are created and weighted by $\delta(v) - \delta(u)$. They are called Heap Edges. Then for each vertex $v \in P(G)$, which represents an edge not in a shortest path connecting a pair of vertices $u$ and $w$, "cross edges" are created from $v$ to $h(w)$ in $P(G)$ having a length $\delta(h(w))$. Every vertex in $P(G)$ only has a out going degree of $4$ max.

$P(G)$'s paths starting from $r$ are supposed to be a one-to-one length correspondence between $s$-$t$-paths in $G$.

In the end a new heap ordered 4-Heap $H(G)$ is build. Each vertex corresponds to a path in $P(G)$ rooted at $r$. The parent of any vertex has one fewer edge. The weight of a vertex is the lenght of the corresponding path.

To find the $k$ shortest paths I use BFS to $P(G)$ and "translate" the search result to paths by using $H(G)$.

Unfortunately, I don't understand how I can "read" $P(G)$ and then "translate" it through $H(G)$ to receive the $k$ shortest paths.

It's been long enough since I wrote that, that by now my interpretation of what's in there is probably not much more informed than any other reader's. Nevertheless:

I believe that the description you're looking for is the last paragraph of the proof of Lemma 5. Basically, some of the edges in P(G) (the "cross edges") correspond to sidetracks in G (that is, edges that diverge from the shortest path tree). The path in G is formed by following the shortest path tree to the starting vertex of the first sidetrack, following the sidetrack edge itself, following the shortest path tree again to the starting vertex of the next sidetrack, etc.

Pseudocode for Eppstein's algorithm (and the authors' lazy version of it) are given in: V.M. Jiménez, A. Marzal, A lazy version of Eppstein’s shortest paths algorithm, in: 2nd International Workshop on Experimental and Efficient Algorithms (WEA ’03), in: Lecture Notes in Computer Science, vol. 2647, Springer, 2003, pp. 179–190. https://pdfs.semanticscholar.org/3a31/5a14a2fc773d2d800186121905016de31705.pdf