스위치 네트워크 문제의 복잡성

스위치 네트워크는 (이름이 발명되는) 노드의 세 가지 유형으로 구성됩니다

• 하나의 시작 노드
• 한쪽 끝 노드
• 하나 이상의 스위치 노드

스위치 노드에는 3 개의 출구가 있습니다 : 왼쪽, 위, 오른쪽; 는 두 개의 상태 L과 R 과 목표 상태 TL 또는 TR 입니다. 각 스위치는 다음 규칙에 따라 통과 할 수 있습니다.

• 항상 왼쪽에서 위로; 스위치 상태가 L로 변경됩니다
• 항상 오른쪽에서 위로; 스위치의 상태가 R로 바뀐다
• 스위치가 L 상태 인 경우에만 위쪽에서 왼쪽으로; 상태는 변하지 않습니다
• 스위치가 R 상태 인 경우 위쪽에서 오른쪽으로; 상태는 변하지 않습니다
• 왼쪽에서 오른쪽으로 또는 오른쪽에서 왼쪽으로 절대

그림 1. 대상 상태가 TR 인 상태 L의 스위치 노드

이러한 속성에는 다음이 포함됩니다.

• 스위치의 출구 중 0, 1 또는 2가 분리 될 수 있습니다 (다른 스위치에 연결되지 않음).
• 경로는 스위치를 "터치" 하여 상태를 변경할 수 있습니다.
• 스위치를 순회 / 터치 할 수있는 횟수에는 제한이 없습니다.

결정 문제는 "스위치의 모든 최종 상태가 해당 대상 상태와 일치하도록 시작 노드에서 종료 노드로의 경로가 존재합니까?"

분명히, 처음에 목표 상태에 있지 않은 모든 스위치는 적어도 한 번 트래버스 (또는 터치)되어야합니다.

이것은 사소한 네트워크의 빠른 추첨입니다 (Excel로 만든 ... 더 나은 네트워크를 만들 것입니다).

사소한 해결책은 다음과 같습니다.

S -> 1 -> 2 -> 3 -> 2 -> E -> 1 -> E

편집 2 :

1. 이 문제가 알려져 있습니까? ---> 당신은 나에게 Hearn의 논문에 대한 좋은 참고 자료를 제공했습니다 (제약 그래프).

$NPSPACE = PSPACE$

$\mathsf{NP}$

$\mathsf{NP\text{-}complete}$

문제는 3-SAT를 줄임으로써 적어도 NP-hard입니다.

먼저 경로가 절의 세 (사각형) 노드를 모두 방문 할 수 없다는 제한과 함께 다음 지시 된 그래프 의 시작 에서 종료 까지 경로를 찾는 문제를 고려하십시오 .

$(X1 \lor X2 \lor X3)\land(X1\lor\neg X2\lor X4)$

이 그래프를 스위치 네트워크로 변환합니다. 이를 위해 세 가지 가젯을 사용합니다.

1. 모든 원 노드와 양방향 에지는 Wire 가 되어 스위치 간의 연결을 형성합니다.
2. 모든 방향 모서리는 단일 스위치로 구성된 단방향 가젯 이됩니다 (아래 참조).
3. 모든 정사각형 노드는 조항 가젯의 일부인 3 개의 스위치 중 하나를 나타냅니다 (아래 참조).

다음 그림에서 스위치는 두 개의 들어오는 화살표로 그려지며 그 중 하나는 점선으로 표시됩니다 (비활성화 됨). 대상 방향은 검은 색 원으로 그려집니다 (실선 화살표는 결국 원의 측면에 있어야 함).

비고 : 우리가 사용하는 굵은을 구별하기 위해 종료 기기의 출구에서 그래프를.

의 경우 편도 가제트, 입학 출구에서 도달 할 수없는 $A$$B$$B$$A$$X1$$X2$$X3$$X1'$$X2'$$X3'$

원래 그래프의 경우 출구로 이어지는 경로를 찾고 어떤 절의 세 정사각형 노드를 모두 방문하지 않은 경로 는 NP- 완료된 것임을 상기 하십시오. 이제 스위치의 목표 위치에 대해 걱정하지 않고 변환 된 그래프 의 종료 에 도달하는 문제를 고려하십시오 .

원래 그래프 문제에 대한 해결책 인 경로가 변환 된 그래프에 대한 해결책이기도합니다. 따라서 변환 된 그래프의 경로가 원래 그래프의 솔루션이 아니라고 가정하십시오. 두 가지 경우에 발생할 수 있습니다.

1. $B$$A$
2. 경로는 일부 조항 가젯 의 세 경로를 모두 통과합니다 .

첫 번째 경우, 단방향 가젯은 먼저 의도 한 방향으로 순회되어야하는데,이 경우 경로는 처음에 순회하지 않았을 수 있습니다.

따라서 경로가 일부 조항 가젯 의 세 스위치를 모두 통과하는 두 번째 경우를 고려하십시오 . 그러면 해당 가제트에는 3 개의 스위치가 모두 뒤집어집니다 (아래 참조). 여기에서 목표 위치를 사용합니다. Clause 가젯 의 회색 백본 에 더 이상 도달 할 수 없습니다. 즉, 스위치를 더 이상 대상 위치로 지정할 수 없습니다. 이 경우이 조항 가젯을 복구 할 수 없습니다.

원래 그래프 문제의 해결책에 대해 변환 된 그래프의 스위치를 대상 위치에 배치 할 수 있음을 보여줍니다. 이를 위해 우리 는 해결책이 있거나 출구 조항 장치를 복구 할 수없는 경우에만 출구 와이어에 도달 할 수 있다는 사실을 이용합니다 .

대상 위치에 스위치를 배치하기 위해 이제 출구 와이어에서 기존의 모든 단방향 가젯 의 입구 와 모든 조항 가젯 의 3 개의 출구 와이어에 단방향 가젯을 추가 할 수 있습니다. 그런 다음 토큰이 Exit에 도달하면 모든 추가 단방향 가젯을 통과 (및 대상 위치에 배치)하고 나머지 스위치를 대상 위치에 배치 할 수 있습니다 (복구 할 수없는 절이없는 경우). 마지막으로 토큰은 종료로 돌아갈 수 있으며 퍼즐이 해결됩니다.

우리는 발언해야한다 절 untraversed 출구에서 입력 할 때 기기 만 복구 할 수 있습니다; Clause 가젯과 다음 변수 사이에 배치 된 단방향 가젯 으로 인해 Exit 와이어에 도달 할 때까지 발생할 수 없습니다 .

따라서 스위치 네트워크 문제는 NP-hard입니다.

문제가 NP 또는 PSPACE-hard인지 여전히 확실하지 않습니다. 평면 스위치 네트워크를 구성하는 NP 경도 감소는 모든 스위치가 아래의 Sokoban 가젯과 동일하기 때문에 Sokoban의 제한된 변형에 큰 영향을 미칩니다.