NP에 대한 좋은 PCP가 전체 다항식 계층 구조에 대해 좋은 PCP를 제공합니까?

PCP 정리는 NP의 모든 의사 결정 문제가 확률 적으로 검사 할 수있는 증거를 가지고 있다고 주장합니다.

PCP 정리 (주변 이론에 대한 PCP의 중요성을 잠시 무시 함)를 둘러싼“민중 지혜”는 엄격한 수학 언어로 작성된 증거를 전체를 읽을 필요없이 원하는 정확도로 효율적으로 확인할 수 있다는 것을 의미합니다. 증거 (또는 증거의 대부분).

나는 이것을 꽤 볼 수 없다. 수량자를 무제한으로 사용하여 제안 논리에 대한 2 차 확장을 고려하십시오 (이미 ZFC보다 약하지만 논리자는 아님). 우리는 이미 양자화기를 번갈아 NP에 접근 할 수없는 이론을 표현하기 시작할 수있다.

내 질문은 NP의 이론에 대한 PCP가 모든 수준의 PH에 똑같이 적용되도록 고차 제안 명제에 정량자를 '언 롤링'하는 간단하고 알려진 방법이 있는지 여부입니다. 최악의 경우 정량화 시스템을 언 롤링하는 데는 증거 시스템의 건전성 또는 정확성의 일부를 유지해야 할 수도 있습니다.

진술의 진실은 증명 시스템에서 (짧은) 증명을 갖는 것과 다릅니다. 언어가 표현 적이지만 언어의 모든 유효한 진술이 시스템에서 짧은 증거를 가지고 있다는 것을 의미하지는 않습니다.

정리 는 진술의 진실 또는 임의의 긴 증거 또는 임의의 이론의 정확성을 확인할 수 있다고 말하지 않습니다. 회원 자격 증명 용$\mathsf{NP}$정의에 따라 멤버쉽의 다항식 크기 ​​증명 (인증서)이 있습니다. 정리는 단지 (다항식 크기) 멤버쉽의 전체 증거를 읽을 필요는 없다고 말합니다.$\mathsf{NP}$ 정확성을 결정하도록 설정했습니다.

정리의 효과적인 의미는 효율적인 증명 시스템에서 짧은 (즉, 임의의 다항식) 증거를 갖는 임의의 언어로 이론 세트에 적용하는 것입니다. 성명서). 예를 들어, 크기 증명이있는 ZFC의 정리$n^{100}$ 어디 $n$공식의 크기입니다. 증거 시스템이 건전한 경우 증거의 작은 부분을 읽음으로써 짧은 증거가있는 이론의 정확성을 확률 적으로 검증 할 수 있습니다. 나는 이것이이 비공식 문장의 의미 의도 "라고 생각 엄격한 수학적 언어에서 작성된 증거가 전체 증거를 읽을 필요없이 정확도 원하는 정도 효율적으로 확인할 수 있습니다 ."

명확히하려고 노력하겠습니다.

다음과 같은 계산 문제를 고려하십시오. (좋아하는 공리 시스템에서) 수학적 진술과 단항 표현으로 주어진 숫자 n이 주어진 경우, 문장의 크기 증명이 n인지 여부를 결정하십시오.

이것은 NP 문제입니다. 증명이 주어지면, 크기가 n이고 정리의 유효한 증거인지를 효율적으로 확인할 수 있습니다. 참고 : 명령문에 FOR ALL과 같은 수량자가 포함되어 있어도 검증자가 모든 가능성을 확인해야한다는 의미는 아니며, 검증자가 FOR ALL 수량자가 포함 된 추론 규칙을 사용한다는 의미입니다.

따라서 PCP 정리는이 문제에 적용되므로 확률 적 검증을 허용하는 (다른) 증명 형식이 있습니다.

또 다른 메모 (Peter의 설명과 관련하여) : PCP 검증기는 대수적 무작위성 만 사용합니다. 이는 전체 증거를 확인하는 결정적이고 표준적인 표준 검증기로 대체 될 수 있음을 의미합니다. 그것은 언어에 대한 PCP 검증자가 NP에 넣는 것입니다.