Mulmuley-Sohoni GCT 접근법을 사용하여 알려진 * 복잡한 분리를 나타내는 것이 얼마나 어려운가?

하여이 게스트 포스트에서 조쉬 Grochow 복잡성에서 그는 7 월에 프린스턴에서 개최되었다 GCT에 전념 최근 워크샵에 대해보고 웹 로그. 참석자들 중 일부는 직관을 구축하고 방법이 잠재력이 있는지 확인하기 위해 대 N P 보다 쉬운 문제를 공격하기 위해 GCT를 사용해야한다고 주장했습니다 .$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$

나를 괴롭힌 질문 :

P ≠ E X P 또는 L ≠ P S P A C E 와 같은 알려진 분리 를 표시하기 위해 GCT를 사용할 수 있습니까?$\mathsf{P} \neq \mathsf{EXP}$$\mathsf{L} \neq \mathsf{PSPACE}$

L ≠ P S P A C E 와 같은 기능$\mathsf{L} \neq \mathsf{PSPACE}$

1. GCT 맥락에서 이해가되지 않거나
2. GCT 프레임 워크에서 전혀 사소하고 흥미롭지 않거나
3. vs. N 만큼 어려운 추측으로 이어짐$\mathsf{P}$ 까요?$\mathsf{NP}$

짧은 대답 : 아마도 (1), 확실하지 (2), 아마도 (3).

이것은 내가 지금 당장 생각했던 것입니다. 첫째, 어떤 의미에서 GCT는 의사 결정 문제보다는 컴퓨팅 기능에 대한 하한을 제공하는 것이 목표입니다. 그러나 귀하의 질문은 , P , P S P A C E 및 E X P 의 함수 클래스 버전에 완벽하게 적합합니다.$L$$P$$PSPACE$$EXP$ .

둘째, 실제로 부울 버전 증명 – F P ≠ F E X P 와 같이 우리가 알고 사랑하는 버전$FP \neq FEXP$ 즉 유한를 통해 모듈 식 표현 이론의 사용 (표현의 이론을 필요로하기 때문에, 아마 GCT 접근 방식에 매우 어려운을 - 어떤 상황에서도 잘 이해되지 않습니다.

그러나 합리적인 목표는 GCT를 사용하여 F P ≠ F E X P 의 대수 유사체를 증명하는 것입니다$FP \neq FEXP$ 입니다.

귀하의 질문에 도달하기 위해 : 나는이 질문들이 GCT 맥락에서 공식화 될 수 있다고 생각하지만, 방법이 즉시 명백하지는 않습니다. 다소, 당신은 클래스에 대해 완벽하고 그것의 대칭으로 특징 지어진 함수가 필요합니다. 함수와 관련된 표현 이론을 이해하기 쉬운 경우 추가 보너스가 있지만 후자는 일반적으로 매우 어렵습니다.

일단 질문이 GCT 맥락에서 공식화 되더라도, 나는 GCT를 사용하여 등 을 증명하는 것이 얼마나 어려운지 전혀 모른다 . 이러한 맥락에서 일어날 표현 이론적 추측 아마도 P 대 N P 에서 발생하는 것과 비슷한 맛을 가질 것입니다$FP \neq FEXP$$P$$NP$또는 영구적 대 결정자. 이러한 분리 결과에 대한 고전적인 증거가 GCT 증거에 필요한 표현 이론적 "폐쇄"를 찾는 방법에 대한 아이디어를 줄 수 있기를 바랍니다. 그러나 언급 한 진술의 증거는 모두 대각선 화를 기반으로 한 계층 구조 정리이며, 대각선 화가 (대수적 유사체) 대해 완전한 함수와 관련된 표현 이론에 실제로 어떻게 많은 통찰력을 제공하는지 알지 못합니다. X P는 말한다. 반면에, 나는 GCT 맥락에서 F E X P 를 공식화하는 방법을 아직 보지 못 했으므로 조금 일찍 말할 수 있습니다.$FEXP$$FEXP$

마지막으로, 그 블로그 포스트에서 언급했듯이 Peter Burgisser와 Christian Ikenmeyer는 행렬 곱셈 의 경계 순위에서 하한을 다시 증명하려고 시도했습니다 (Joseph Landsberg에 의해 2006 년 7로 입증 됨). 그들은 GCT 방해에 대한 컴퓨터 검색으로 국경 순위가 6 이상임을 보여줄 수있었습니다. 업데이트 2013년 4월 : 그들은 이후에 관리해야 재 증명 GCT 폐쇄를 사용하여 LANDSBERG의 결과를,하고 근사 보여 3$2 \times 2$매트릭스 곱셈에 하한$\frac{3}{2}n^2 - 2$같은 장애물을 사용. GCT는 지금까지 알려진 행렬 하한에 대해 알려진 하한을 재현하지는 않았지만, 대안 (컴퓨터가 최악의 경우에는 두 배의 지수 시간 인 Grobner 염기를 포함 함)보다 컴퓨터 검색을 더 효율적으로 수행 할 수 있습니다. 워크숍에서 그들의 대화에서 Peter와 Christian은 우리가 작은 예제를 계산하기 위해 실제로 기대되는 것은 알려진 하한을 다시 입증하는 것이 아니라이것을 사용할 수있는통찰력이라고 지적했습니다 (정확하게 말하고 싶습니다)새로운증명 기술 하한 .

매트릭스 곱셈의 맥락에서 GCT의 좋은 점은이 기법이 에서 3 × 3의 행렬 곱셈 을 쉽게 일반화한다는 것입니다 (현재 기술로 장애물을 계산하는 것이 분명히 더 비싸지 만) Landsberg의 접근법은 구현하기가 매우 어렵습니다 3 × 3의 경우 에도 마찬가지입니다 . 복잡한 클래스 분리에 대해 비슷한 것을 말할 수 있습니다 .GCT는 F P ≠ F E X P 와 같은 알려진 결과 뿐만 아니라 P 과 같은 알 수없는 결과에도 적용될 수있을 정도로 일반적입니다.$2 \times 2$$3 \times 3$$3 \times 3$$FP \neq FEXP$ , 우리가 대각을 알고 반면하지 않습니다.$P \neq NP$

arXiv에 Joshua Grochow 의 새로운 논문 이 있습니다. 여기에는 알려진 여러 가지 하한 기술을 GCT 프레임 워크에 넣는 방법이 나와 귀하의 질문에 다소 답하는 것처럼 보입니다.

(이것은 대부분 의견 일 뿐이지 만, 아무도 의견을 알지 못하므로 답변으로 게시하고 있습니다.)

기하학적 복잡성 이론을 통해 알려진 하한을 통합하고 일반화

조슈아 에이 그로 호프

$AC^0[p]$이는 알려진 결과의 자연 통일과 광범위한 일반화입니다. 또한 GCT의 프레임 워크는 알려진 방법만큼 강력하고 GCT가 실제로 점근 적으로 중요한 하한을 제공 할 수 있다는 많은 새로운 개념 증명을 제공합니다. 이 새로운 관점은 또한 이전 결과와 새로운 GCT 방법 사이에 유익한 양방향 상호 작용의 가능성을 열어줍니다. 우리는 그러한 상호 작용에 대한 몇 가지 구체적인 제안을 제공합니다. 예를 들어, GCT의 표현 이론적 관점은 자연스럽게 새로운 하한을 찾는 데 고려해야 할 새로운 속성을 제공합니다. 이 새로운 관점은 또한 이전 결과와 새로운 GCT 방법 사이에 유익한 양방향 상호 작용의 가능성을 열어줍니다. 우리는 그러한 상호 작용에 대한 몇 가지 구체적인 제안을 제공합니다. 예를 들어, GCT의 표현 이론적 관점은 자연스럽게 새로운 하한을 찾는 데 고려해야 할 새로운 속성을 제공합니다. 이 새로운 관점은 또한 이전 결과와 새로운 GCT 방법 사이에 유익한 양방향 상호 작용의 가능성을 열어줍니다. 우리는 그러한 상호 작용에 대한 몇 가지 구체적인 제안을 제공합니다. 예를 들어, GCT의 표현 이론적 관점은 자연스럽게 새로운 하한을 찾는 데 고려해야 할 새로운 속성을 제공합니다.