정확한 알고리즘에 사용되는 근사 알고리즘

근사 알고리즘은 일정한 상수까지 출력을 줄 수 있습니다. 이것은 정확한 알고리즘보다 만족스럽지 않습니다.

그러나 시간 복잡성에서는 일정한 요소가 무시됩니다.

따라서 다음과 같은 트릭이 가능한지 또는 일부 문제 를 해결하기 위해 사용되었는지 궁금합니다 .$B \circ A$

1. 근사 알고리즘을 사용하여 문제 를 해결 하여 솔루션 를 일정한 인수 로 얻습니다 .$A$$S$
2. 런타임이 가중치에 의존 하지만 가 올바른 솔루션 인 한 작동 하는 문제 해결하는 정확한 알고리즘을 사용하십시오 .S $B$$S$$S$

이런 식으로 근사는 근사 알고리즘의 "하위 절차"이며 1 단계에서 손실 된 상수 요소는 2 단계에서 삼킨다.

파라미터 화 된 복잡성 예는이다 kernelization 대 정점 커버 문제 Nemhauser와 속보의 정리를 이용.

최소 정점 커버 문제에서, 무 방향 그래프 G가 주어지고 최소 크기의 G의 정점 커버를 찾아야합니다. 무 방향 그래프의 정점 커버는 모든 가장자리에 닿는 정점 하위 집합입니다.

첫 번째 단계에서 근사값을 사용하는 정확한 알고리즘은 다음과 같습니다.

1 단계 : 최소 정점 커버 문제의 정수 선형 프로그래밍 공식을 설정합니다 . 선형 프로그래밍 이완의 기본 최적 솔루션은 반 적분 (즉, 모든 좌표가 0, 1 또는 1/2 임) 인 것으로 알려져 있습니다. 이러한 기본적인 최적 솔루션은 선형 프로그래밍을위한 일반적인 다항식 시간 알고리즘으로 찾을 수 있습니다 (또는이 특별한 경우에는 네트워크 흐름 문제로 공식화 할 수 있으므로 다항식 시간으로 조합하여 해결할 수 있습니다). 이러한 기본적인 최적 솔루션을 갖추면 원래 정수 선형 프로그래밍 문제에 대한 가능한 솔루션을 얻도록 반올림합니다. S를 해당 정점 하위 집합으로 설정하십시오. S는 주어진 최소 정점 표지 인스턴스의 2 근사값입니다.

2 단계 : S에 의해 유도 된 하위 그래프에서 최소 정점 커버를 찾습니다 (예 : 철저한 검색). Nemhauser and Trotter의 정리에 따르면이 하위 그래프에는 원래 입력 그래프의 최적 솔루션이 포함되어 있습니다. 따라서이 접근 방식의 정확성은 다음과 같습니다.

이 알고리즘의 고정 매개 변수 알고리즘에 대해서는 Niedermeier의 책을 참조하십시오 .

한 가지 예는 트리 분해 및 작은 폭의 그래프와 관련이 있습니다.

일반적으로, 경우에 우리는 나무 분해를 부여, 주어진 그래프 문제를 해결하기 위해 동적 프로그래밍 적용하는 매우 간단 최적으로합니다. 실행 시간은 트리 분해 폭에 따라 다릅니다.$B$

그러나 일반적으로 트리 분해가 제공되지 않지만 찾아야합니다. 문제 최대한 빨리 해결하기 위해 가능한 가장 작은 너비의 트리 분해를 찾고자합니다. 이제 이것이 문제 입니다.$B$$A$

문제 정확하게 해결하려고 시도 할 수 있지만, 파트 에서 너무 많은 시간을 낭비 할 수 있습니다 . 가능한 접근법 중 하나는 파트 근사 알고리즘을 사용하는 것 입니다. 그런 다음 파트 런타임 시간이 더 길어지면서 파트 가 더 빠릅니다 .A A A $A$$A$$A$$A$$B$

또 다른 예는 컴파일러 및 레지스터 할당 과 관련이 있습니다. 다항식 시간에서 문제 를 해결하는 정확한 알고리즘을 구현했다고 가정합니다 . 알고리즘의 실행 시간은 부분적으로 컴파일러가 CPU 레지스터에 변수를 얼마나 잘 할당했는지에 달려 있습니다. 이것이 우리의 문제 입니다.$B$$A$

컴파일러가 근사 알고리즘을 사용하여 문제 를 해결하더라도 문제 의 솔루션 은 정확합니다 . 그러나 문제 의 근사 계수 는 알고리즘 의 실행 시간에 영향을줍니다 .A A $B$$A$$A$$B$

정확한 솔루션으로 수렴하는 근사 알고리즘의 예는 LP를 해결하기위한 Ellipsoid 알고리즘입니다. 계수가 합리적인 경우 실행 가능한 폴리 토프의 두 꼭지점 사이의 최소 거리를 계산할 수 있습니다. 이제 타원체 알고리즘은 최적의 솔루션을 포함해야하는 작고 작은 elliposoid를 반복적으로 계산합니다. elliposoid가 그러한 단일 꼭짓점 만 포함하기에 충분히 작 으면 본질적으로 최적의 꼭짓점을 찾았습니다. 이것이 LP가 약한 다항식 인 이유입니다.

개요에 더 가까운 예를 들어 평면에서 포인트를 포함하는 가장 작은 디스크를 찾기위한 Matousek의 알고리즘을 고려하십시오 . 알고리즘은 먼저 반경 2의 2-approixmation을 찾고 평면을 적절한 그리드로 분할 한 다음 느린 알고리즘을 사용하여 각 그리드 클러스터 내부의 문제를 정확하게 해결합니다. $k$

마지막으로, 변경 기술을 따르는 많은 알고리즘 (임의의 샘플을 취한 다음 원하는 것을 얻기 위해 일부 수정을 수행)을 진행하면 그러한 프레임 워크에 빠지게됩니다. 한 가지 귀여운 예는 무작위 샘플링을 사용하여 중앙값을 계산하는 알고리즘입니다 (Motwani 및 Raghavan의 책 참조). 계산 기하학 (Computational Geometry)의 랜덤 화 된 증분 알고리즘 중 상당수가이 프레임 워크에 해당합니다.

많은 출력 감지 알고리즘이이 기술을 사용합니다. 예를 들어 다음은이 기술을 사용할 수있는 간단한 문제입니다.

문제 . 배열 A [1 .. n ] 가 주어집니다. 여기에서 각 요소는 A가 정렬 된 경우의 위치에서 최대 k 개의 위치에 있습니다.

예를 들어, 아래에 표시된 A [1..7]은 k = 2에 대한 입력 배열 일 수 있습니다 .

문제 출처 : Algo Muse Archive.