순진한 이론에 기반한 유형 시스템

내가 이해하는 것처럼, 컴퓨터 과학에서 데이터 유형은 Russell의 역설과 같은 것들 때문에 이론을 기반으로하지 않지만 실제 프로그래밍 언어에서는 "자체를 포함하지 않는 집합"과 같은 복잡한 데이터 유형을 표현할 수 없다. 실제로 type은 인스턴스 멤버쉽이이 유형 / 세트에 고유 한 여러 기능 (특정 속성, 메소드의 존재)으로 정의되는 무한한 멤버 집합이라고 말합니까? 반대의 예가 없다면?

유형의 의미론에서 집합을 피하는 주된 이유는 일반적인 프로그래밍 언어로 인해 임의의 재귀 함수를 정의 할 수 있기 때문입니다. 따라서 형식의 의미가 무엇이든 고정 소수점 속성이 있어야합니다. 이러한 속성을 가진 유일한 집합은 싱글 톤 집합입니다.

더 정확하게 말하면, 유형 의 재귀 적으로 정의 된 값 (일반적으로 는 함수 유형)는 고정 소수점 방정식 로 정의됩니다. 여기서 can 모든 프로그램이 될 수 있습니다. 만약 가 세트 로 해석된다면, 우리는 모든 가 고정 점을 가질 것으로 기대할 것이다 . 그러나이 속성을 가진 유일한 세트 는 싱글 톤입니다.$v$$\tau$$\tau$$v = \Phi(v)$$\Phi : \tau \to \tau$$\tau$$T$$f : T \to T$$T$

물론 범인이 고전적인 논리라는 것도 알 수 있습니다. 직관적 인 집합 이론으로 작업하는 경우 고정 소수점 속성을 가진 집합이 많이 있다고 가정합니다. 실제로 이것은 프로그래밍 언어의 의미론을 제공하는 데 사용되었습니다.

Alex Simpson, 직관적 집합 이론의 모델에서 재귀 유형에 대한 계산적 적합성, 순수하고 적용되는 논리의 연대기, 130 : 207-275, 2004.

시맨틱 서브 타이핑은 서브 타이핑이 서브 세트 인 유형의 기본 세트 이론적 해석을 기반으로합니다. 필자는 원본 작업 은 Castagna가 XML 처리 언어 CDuce와 관련하여 수행 한 것이라고 생각합니다. 유형은 XML 문서 세트에 해당합니다. 아이디어는 이후 한 다시 적용 받는 -calculus과에 미적분 객체와 클래스 .$\pi$

몇 가지 예외 (Dave Clarke가 인용 한 것)를 제외하면 간단한 유형 이론적 의미론은 사용하기 어렵습니다. 그 이유는 집합 이론적 의미론에서 데이터 추상화가 잘 작동하지 않기 때문입니다.

기본 문제는 다형성 유형을 가진 완전히 순수한 기능적인 언어에서 가장 쉽게 볼 수 있으며, 다형성 유형 인 고려하십시오 . 유형의 순진한 집합 이론적 의미론에서 함수 공간을 집합 이론적 함수 공간으로 해석 한 다음 유니버설 수량자를 일부 (작은) 세트의 우주 대한 곱으로 해석합니다 . 그건,$\forall \alpha.\; \alpha \to \alpha$$U$

그러나 이러한 유형의 해석에는 각 요소에서 다른 기능을 수행하는 함수가 포함 됩니다. 에서 분기하여 각 에 대해 로 다른 함수를 제공 할 수 있습니다 . 반대로, 다형성 유형에는 항등 함수 만 포함 됩니다 . 프로그래밍 언어를 사용하면 모든 유형에서 작동하는 유형 만 수행 할 수 있기 때문 입니다.$U$$U$$X \to X$$X \in U$$\alpha$

따라서이 의미론은 (예를 들어) ID가 의 유일한 거주자라는 사실에 근거하여 최적화를 정당화 할 수 없습니다 .$\forall \alpha.\; \alpha \to \alpha$