동적 그래프의 증분 최대 흐름

동적 그래프에서 최대 흐름을 계산하는 빠른 알고리즘을 찾고 있습니다. 그래프 부여하여 예 및 (S) , t ∈ V 우리는 최대 유량이 F 에서 G 에서 S 받는 t를 . 그 후, 새로운 / 이전 노드 u 는 대응하는 에지로 추가 / 삭제되어 그래프 G 1 을 형성한다 . 새로 생성 된 그래프에서 최대 흐름은 얼마입니까? 최대 유량을 다시 계산하지 못하게하는 방법이 있습니까?$G=(V,E)$$s,t\in V$$F$$G$$s$$t$$u$$G^1$

시간 / 메모리를 많이 소비하지 않는 모든 전처리는 높이 평가됩니다.

가장 간단한 아이디어는 흐름을 다시 계산하는 것입니다.

또 다른 간단한 아이디어는 이것으로 이전 최대 흐름 계산에 사용 된 모든 확장 경로를 저장하고 정점 를 추가하기 위해 소스에서 시작하여 v 로 이동 하는 간단한 경로 (이전 단계로 용량 그래프에서)를 찾을 수 있습니다. 대상으로하지만, 문제는,이 경로는 간단해야, 나는보다 더 찾을 수 없습니다 O ( N ⋅ m ) 이 경우에, 대한 m = | 전자 | . 또한 경로가 하나 인 경우 O ( n + m ) 로 수행 할 수 있지만 그렇지 않습니다.$v$$v$$O(n\cdot m)$$m=|E|$$O(n+m)$

또한 위의 노드를 제거해도 작동하지 않습니다.

또한 가장자리 에 대한 증분 방식 과 같은 논문을 이미 보았지만 이 경우 충분 하지 않은 것 같습니다. 각 가장자리에 대해 이상 이며이 경우에는 확장이 적합하지 않습니다 (우리는 단지 흐름을 다시 계산합니다). 또한 현재 Ford-Fulkerson 최대 흐름 알고리즘 을 사용하고 있습니다. 온라인 알고리즘에 대한 더 나은 옵션이 있으면 알고 싶습니다.$O(m)$

설명 된 접근법은 이론적으로 최적이 아닐 수 있습니다. 저자에게는 효과가있을 수있는 간단한 실용적인 솔루션 일뿐입니다. 나는 그것이 널리 알려진 민속이라고 항상 생각하기 때문에 어떤 참고도 제공 할 수 없지만 이상하게도 아무도 대답에 게시하지 못했습니다. 그래서 나는 그것을한다.

무지향 네트워크 가 있다고 가정합니다 . 정점 / 호 삽입 / 삭제가 쉬운 데이터 구조에 저장되어 있다고 가정합니다. 때때로 우리는 잔여 네트워크 G f (즉, 업데이트 된 용량 c f = c − f )를 사용할 것입니다.$G=(V,E,c)$$G_f$$c_f = c - f$

첫 번째 부분은 정점 삽입 / 삭제를 처리하는 방법입니다. 삽입하기에는 다소 간단합니다.

1. 잔차 네트워크에 해당 모서리가있는 새로운 정점을 추가합니다.
2. 선택한 maxflow 알고리즘을 사용하여 업데이트 된 잔차 네트워크에서 최대 흐름을 찾으십시오.

삭제의 경우 상황이 더욱 복잡해졌습니다. 우리가 삭제 하려는 정점 를 2 개의 반쪽 v i n 과 v o u t 로 분할하여 모든 아크가 v i n을 가리키고 , 모든 out-arcs가 v o u t 에서오고이 새로운 꼭짓점이 연결되도록 상상해보십시오 무한한 능력의 호. 그러면 v 삭제는 v i n 과 v o u t 사이의 아크 삭제와 같습니다 . 이 경우 어떻게됩니까? f v로 표시하자$v$$v_{in}$$v_{out}$$v_{in}$$v_{out}$$v$$v_{in}$$v_{out}$$f^v$정점을 통과하는 흐름 . 이어서 v에 난을 N 초과 경험할 F의 브이 흐름 단위 및 V O U t가 부족 경험할 F V의 오른쪽 삭제 후 흐름 유닛 (흐름 제한 분명 세분화된다). 흐름 제약 조건을 다시 유지하려면 흐름을 다시 정렬해야하지만 원래 흐름 값을 최대한 높게 유지하려고합니다. 총 유량을 줄이지 않고 재 배열을 할 수 있는지 먼저 살펴 보자. v i n 에서 v o u 까지 maxflow ~ f v 를 찾는 지 확인하려면$v$$v_{in}$$f^v$$v_{out}$$f^v$$\tilde{f^v}$$v_{in}$ 은 "의 cutted"잔류 네트워크 (즉, 호 접속없이 V 나 N 과 V O U t ). 우리는분명히 f v로 묶어야합니다. f v와 같으면운이 좋을 것입니다.v를통과하는 흐름을총 흐름이 변경되지 않도록다시 할당했습니다. 다른 경우 전체 흐름의 "쓸모없는"초과 감소해야Δ= F V - ~ F의 V의 단위. 그렇게하려면s와t를임시로 연결하십시오$v_{out}$$v_{in}$$v_{out}$$f^v$$f^v$$v$$\Delta = f^v - \tilde{f^v}$$s$$t$무한 용량의 아크로 maxi 알고리즘을 에서 v o u t 까지 다시 실행하십시오 (흐름을 Δ로 묶어야합니다 ). 그러면 잔여 네트워크가 고정되고 유량 제한이 다시 유지되어 총 유량이 Δ 만큼 자동으로 감소 합니다.$v_{in}$$v_{out}$$\Delta$$\Delta$

이러한 업데이트의 시간 복잡도는 사용하는 maxflow 알고리즘에 따라 달라질 수 있습니다. 최악의 경우는 꽤 나쁘지만 여전히 총 ​​재 계산보다 낫습니다.

$O(|V|^2|E|)$$O(|E|^2 \log C_{max})$

새로운 정보를 고려하고 까다로운 이전의 잘못된 시작 / 빨간 청어 참조를 피하는 것이 좋습니다.

강력한 최소 컷 계산을위한 확장 기능으로 온라인에서 최대 흐름 문제의 온라인 시퀀스를 빠르게 해결 Doug Altner 및 Özlem Ergun

이 참조 는 MFP의 온라인 시퀀스 및 "따뜻한 시작"을 고려 합니다. 즉, 이전 MFP에 대한 증분 chgs를 빌드합니다. "우리는 블랙 박스 MFP 솔버를 사용하는 유사한 코드를 비교할 때 알고리즘이 실행 시간을 몇 배나 줄인다는 것을 보여줍니다. 특히, 최소 최소 컷 알고리즘은 4 초 이상 필요한 인스턴스를 몇 초 안에 해결할 수 있음을 보여줍니다. 블랙 박스 최대 유량 솔버를 사용하는 시간 "

최대 흐름과 관련된 문제에 대한 개선 사항 Altner, Douglas S., Georgia Tech

이 2008 년 박사 학위 논문 (다운로드 가능한 PDF)에서 저자는 새로운 정점을 추가하는 문제 (여러 개의 새로운 아크를 갖는 문제)에 "충분히 근접한"것으로 보이는 점진적으로 아크를 추가하는 문제를 고려합니다.

이 참조의 대부분은 초록의 첫 번째 부분에 명시된 네트워크의 일부 (컷 / "차단")를 삭제하는 것과 관련이 있습니다.

esp "최대 흐름의 IV 해결 온라인 시퀀스 ...... p63"를 참조하십시오.

p 63 "그러나이 장의 목표는 블랙 박스 최대 유량 솔버를 반복적으로 사용하여 대량의 MFP 시퀀스를 해결하는 데 엄청난 수의 불필요한 계산이 발생할 수 있음을 독자에게 확신시키는 것입니다."

p66 "앞서 언급 한 응용에서 MFP는 일반적으로 위상 적으로 유사합니다. 즉, 시퀀스에서 다음 MFP는 적은 수의 아크를 추가 또는 제거하거나 로컬 화 된 아크 세트의 용량을 예측 가능하게 변경하여 이전 MFP와 다릅니다. "이러한 인스턴스를 해결할 때 이전 문제에 대한 솔루션 이외의 것을 저장하는 데 필요한 시간과 공간은 일반적으로 보증되지 않습니다."

p67 author는 여기서 "warm start"접근 방식을 사용합니다. "전체 온라인 최적화 문제를 신속하게 해결하기위한 효과적인 전략은 효율적인 재 최적화 휴리스틱을 개발하는 것입니다.이를 위해 효율적인 웜 스타트를 위해 설계된 수정 된 최대 흐름 알고리즘을 개발합니다."

특정 증분 새 아크 문제가있는 esp p71을 참조하십시오.

새로운 아크 최대 흐름 재 최적화 문제 (NAMFRP)

저자는보다 일반적인 문제를 고려한다 p67

최대 흐름 재 최적화 문제 (MFROP)
최대 흐름 단일 아크 재 최적화 문제 (MFSAROP)

빠른 검색에서 온라인 버전은 활발한 연구 분야 인 것 같습니다. 문헌 검색 범위를 좁히는 데 도움이 될 수있는 응용 분야는 언급하지 않아도됩니다. 하나의 옵션은 가장 최신 또는 최신 혁신이있는 응용 분야를 찾는 것입니다. 따라서 비전 시스템에는 점증적인 최대 흐름이 적용되며 거기에는 일부 알고리즘이 있습니다. Microsoft 연구소에서 증분 폭 우선 검색 별 최대 흐름을 사용해보십시오 . 보이 스코프와 콜로 모고 로프 알고리즘은 비전 인스턴스의 경우이 애플리케이션에 대한 소개를 해석하는 데 효과적이며, 비전 애플리케이션 외부에서는 성능이 저하 될 수 있지만 알려진 지수 시간 카운터 예제는 없습니다. 데이터에서 B & K 알고리즘을 시도하고 어떻게 작동하는지 확인하는 것이 좋습니다.

그래프 가장자리 수에 선형 인 증분 알고리즘이 속도가 충분하지 않다고 말하는 것 같습니다. 그러나 그다지 높은 효율은 아닙니까? 당신은 얼마나 많은 가장자리를 다루고 있습니까? 어쩌면 접근 방식은 그래프가 비싸거나 중요한 요소 인 경우 그래프를 통과하는 비용을 줄이는 것일 수 있습니다 (예 : db에 저장된 그래프 대 메모리에 저장된 그래프)

여기에 최대 흐름에 대한 비 증분 알고리즘이 P에 있지만 증분 버전은 NP 완료라고 주장하는 흥미로운 논문이 있습니다. "우리가 아는 한, 우리의 결과는 증분 버전이 NP 인 P- 시간 문제를 최초로 발견 한 것입니다."

Hartline, Sharp의 증분 흐름

또 다른 가능성 / 방향은 "최대 흐름을위한 가장 효율적인 알고리즘 중 하나"이며 데이터에 따라 더 복잡한 프로파일을 가질 수 있는 푸시-리 라벨 최대 흐름 알고리즘입니다. 예를 들어 위키 백과 페이지 상태

$O(V^3)$$O(V^2 \sqrt E$$O(V \cdot E \cdot log(V^2 / E))$