AER의 Barro (2009) 희귀 재해 모델 : 방정식 (10)을 도출하는 방법은 무엇입니까?


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Barro (2009)에서 희귀 재해, 자산 가격 및 복지 비용 Barro는 Epstein-Zin 환경 설정을 사용하여 Lucas 트리 모델을 개발합니다.

내 질문은 논문의 방정식 (10)에 관한 것입니다. 이 식에서는 Barro 최적 솔루션 유틸리티하에한다고 소비에 비례 C의 t 의 힘 rased 1 - γ , γ는 상대적 위험 회피의 계수, 즉UtCt1γγ

Ut=ΦCt1γ

이 결과의 논리를 이해하고 있지만, 그가 언급 한 논문의 각주 7에 표시된 상수 어떻게 도출하는지 이해하지 못합니다 Φ.

Alberto Giovannini와 Philippe Weil (1989, 부록)은 식 (9)의 유틸리티 함수를 통해 달성 된 유틸리티 Ut 가 힘 비례 함을 보여 1γ줍니다. 식 (10)의 형태는 i t의 경우 부에 대한 일정한 비율로 Ct 가 최적으로 선택 되기 때문이다 . 의 화학식 Φ 이면 γ1 θ1 ,

Φ=(11γ){ρ+(θ1)g(1/2)γ(θ1)σ2(θ1γ1)p[E(1b)1γ1(γ1)Eb]}(γ1)/(1θ)

Barro는 Giovannini와 Weil이 1989 년 NBER 논문을 인용했습니다. 이 논문에서 나는 상수를 도출 할 수있다. 그러나 를 포함하는 식으로 끝나기 때문에 Barro 버전과 완전히 다르게 보입니다 . 여기서 R t 는 자본 수익률입니다. I 배로 교수는 대체했다고 판단 E를 [ R 1 - γ t ] 의 평형 용액 R의 t . 그러나 그의 표현식에는 로그 또는 exp 표현식이 포함되지 않습니다.E[Rt1γ]RtE[Rt1γ]Rt

솔루션이나 솔루션에 대한 힌트에 감사드립니다.


멋지다! 노력해 주셔서 감사합니다. 답변의 2 부와 3 부를 검토하는 데 며칠이 걸리지 만 매우 직관적으로 보입니다.
drcms02

답변:


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Barro는 각주에서 Giovanni와 Weil이 동일한 방정식 찾지 만 C t 의 최적 경로를 사용 한다는 것을 의미한다고 생각 합니다. 배로 교수의 논문에서, 접근의 역학 다르지 주어진다 C의 t는 외인성 인 : C의 t = Y의 t 가정하여.Ut=ΦC1γCtCtCt=Yt

Barro는 기간의 길이가 0에 가까울 때 제한 사례를 사용합니다. 독자가 귀찮게 할 수있는 것은 모델이 불연속으로 정의 된 것일 수 있습니다.

모델을 다시 작성

먼저, 길이가 모델을 다시 작성한 다음 δ 0 을 사용할 수 있습니다 . GDP 역학 쓰기 로그 ( Y t + δ ) = 로그 ( Y t ) + g δ + u t + δ + v t + δ , u t + δN ( 0 , δ σ 2 )v t + δ =δδ0

log(Yt+δ)=log(Yt)+gδ+ut+δ+vt+δ
ut+δN(0,δσ2) 확률 1 - P의 δ 로그 ( 1 - B ) 확률과 P의 δ . 이 유틸리티는 U t = 1을 충족합니다 vt+δ=01pδlog(1b)pδ
Ut=11γ{Ct1θ+11+ρδ[(1γ)EtUt+δ]1θ1γ}1γ1θ.

1) E t [ ( C t + δ 의 함수로 구합니다.ΦEt[(Ct+δCt)1γ]

이제부터 U t = Φ C 1 - γ 와 같은 가 있다고 가정하자 ( Φδ 에 우선적으로 의존 함 ). H ( U ) 정의 = [ ( 1 γ ) U ] 1 θΦUt=ΦC1γΦδ 이면 유틸리티가H( U t )= C 1 - θ t + 1을 충족시킵니다. H(U)=[(1γ)U]1θ1γ 우리는Ut: H(Φ)C 1 θ t =C 1 θ t +1을 대신합니다.

H(Ut)=Ct1θ+11+ρδH(EtUt+δ).
Ut 따라서 우리는Ct0, 1
H(Φ)Ct1θ=Ct1θ+11+ρδH(Φ)(Et[Ct+δ1γ])1θ1γ.
Ct0
1H(Φ)=111+ρδ(Et[(Ct+δCt)1γ])1θ1γ.

Et[(Ct+δCt)1γ]

(Yt+δYt)1γ=exp((1γ)gδ).exp((1γ)ut+δ).exp((1γ)vt+δ).
ut+1vt+1
Et(Yt+δYt)1γ=exp((1γ)gδ).Etexp((1γ)ut+δ).Etexp((1γ)vt+δ).
exp(X)XN(0,σ2)exp(σ2/2)exp((1γ)vt+δ)11pδ(1b)1γpδ
Et(Yt+δYt)1γ=exp((1γ)gδ).exp((1γ)2σ2δ2).(1pδ+pE[(1b)1γ]δ).
Ct=YtΦ
1H(Φ)=111+ρδ{exp((1θ)gδ).exp((1γ)(1θ)σ2δ2).(1pδ+pE[(1b)1γ]δ)1θ1γ}.

3) 근사치 취하십시오.δ0

1H(Φ)=1(1ρδ).(1+(1θ)gδ).(1+(1γ)(1θ)σ2δ2).(11θ1γpδ+1θ1γpE[(1b)1γ]δ).
δii>1
1H(Φ)=ρδ(1θ)gδ(1γ)(1θ)σ2δ2+1θ1γpδ1θ1γpE[(1b)1γ]δ.
gg=g+σ22pEb
1H(Φ)=ρδ(1θ)gδ+(1θ)σ22δ(1θ)pEbδ(1γ)(1θ)σ2δ2+1θ1γpδ1θ1γpE[(1b)1γ]δ.
δ=1H
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