AER의 Barro (2009) 희귀 재해 모델 : 방정식 (10)을 도출하는 방법은 무엇입니까?

Barro (2009)에서 희귀 재해, 자산 가격 및 복지 비용 Barro는 Epstein-Zin 환경 설정을 사용하여 Lucas 트리 모델을 개발합니다.

내 질문은 논문의 방정식 (10)에 관한 것입니다. 이 식에서는 Barro 최적 솔루션 유틸리티하에한다고 소비에 비례 의 힘 rased , 상대적 위험 회피의 계수, 즉 $U_t$ $C_t$ $1-\gamma$ $\gamma$

$U_t=\Phi C_t^{1-\gamma}$

이 결과의 논리를 이해하고 있지만, 그가 언급 한 논문의 각주 7에 표시된 상수 어떻게 도출하는지 이해하지 못합니다 $\Phi$ .

Alberto Giovannini와 Philippe Weil (1989, 부록)은 식 (9)의 유틸리티 함수를 통해 달성 된 유틸리티 $U_t$ 가 힘 비례 함을 보여 $1-\gamma$ 줍니다. 식 (10)의 형태는 i 경우 부에 대한 일정한 비율로 $C_t$ 가 최적으로 선택 되기 때문이다 . 의 화학식 $\Phi$ 이면 $\gamma \neq 1$ $\theta \neq 1$ ,
$Φ = (\frac{1}{1 - γ}) {ρ + (θ - 1) g^{*} - (1 / 2) γ (θ - 1) σ^{2} - (\frac{θ - 1}{γ - 1}) p [E (1 - b)^{1 - γ} - 1 - (γ - 1) E b]}^{(γ - 1) / (1 - θ)}$ $\Phi = (\frac{1}{1-\gamma})\{\rho+(\theta-1)g^* - (1/2)\gamma(\theta -1)\sigma^2 - (\frac{\theta-1}{\gamma-1})p[E(1-b)^{1-\gamma} - 1 - (\gamma - 1)Eb] \}^{(\gamma-1)/(1-\theta)}$

Barro는 Giovannini와 Weil이 1989 년 NBER 논문을 인용했습니다. 이 논문에서 나는 상수를 도출 할 수있다. 그러나 를 포함하는 식으로 끝나기 때문에 Barro 버전과 완전히 다르게 보입니다 . 여기서 는 자본 수익률입니다. I 배로 교수는 대체했다고 판단 의 평형 용액 . 그러나 그의 표현식에는 로그 또는 exp 표현식이 포함되지 않습니다. $E[R_t^{1-\gamma}]$ $R_t$ $E[R_t^{1-\gamma}]$ $R_t$

솔루션이나 솔루션에 대한 힌트에 감사드립니다.

macroeconomics finance academic-graduate

— drcms02
소스

멋지다! 노력해 주셔서 감사합니다. 답변의 2 부와 3 부를 검토하는 데 며칠이 걸리지 만 매우 직관적으로 보입니다.

— drcms02

Barro는 각주에서 Giovanni와 Weil이 동일한 방정식 찾지 만 의 최적 경로를 사용 한다는 것을 의미한다고 생각 합니다. 배로 교수의 논문에서, 접근의 역학 다르지 주어진다 외인성 인 : 가정하여. $U_t=\Phi C^{1-\gamma}$ $C_t$ $C_t$ $C_t=Y_t$

Barro는 기간의 길이가 0에 가까울 때 제한 사례를 사용합니다. 독자가 귀찮게 할 수있는 것은 모델이 불연속으로 정의 된 것일 수 있습니다.

모델을 다시 작성

먼저, 길이가 모델을 다시 작성한 다음 을 사용할 수 있습니다 . GDP 역학 쓰기 , 및 $\delta$ $\delta\to 0$

\log (Y_{t + δ}) = \log (Y_{t}) + g δ + u_{t + δ} + v_{t + δ}

$\log(Y_{t+\delta})=\log(Y_t)+g\delta+u_{t+\delta}+v_ {t+\delta}$

u_{t + δ} \sim N (0, δ σ^{2})

$u_{t+\delta}\sim \mathcal{N}(0,\delta\sigma^2)$

확률

및

확률과

. 이 유틸리티는

충족합니다

v_{t + δ} = 0

$v_{t+\delta}=0$

1 - p δ

$1-p\delta$

\log (1 - b)

$\log(1-b)$

p δ

$p\delta$

U_{t} = \frac{1}{1 - γ} {C_{t}^{1 - θ} + \frac{1}{1 + ρ δ} {[(1 - γ) E_{t} U_{t + δ}]}^{\frac{1 - θ}{1 - γ}}}^{\frac{1 - γ}{1 - θ}} .

$U_t=\frac{1}{1-\gamma}\left\lbrace C_t^{1-\theta}+\frac{1}{1+\rho\delta}\left[(1-\gamma)E_tU_{t+\delta}\right]^\frac{1-\theta}{1-\gamma}\right\rbrace^\frac{1-\gamma}{1-\theta}.$

1) 의 함수로 를 $\Phi$ $E_t\left[\left(\frac{C_{t+\delta}}{C_t}\right)^{1-\gamma}\right]$

이제부터 와 같은 가 있다고 가정하자 ( 는 에 우선적으로 의존 함 ). 정의 $\Phi$ $U_t=\Phi C^{1-\gamma}$ $\Phi$ $\delta$ 이면 유틸리티가 충족시킵니다. $H(U)=[(1-\gamma)U]^\frac{1-\theta}{1-\gamma}$ 우리는:

\begin{aligned} H (U_{t}) = C_{t}^{1 - θ} + \frac{1}{1 + ρ δ} H (E_{t} U_{t + δ}) . \end{aligned}

$\begin{align} H(U_t)= C_t^{1-\theta}+\frac{1}{1+\rho\delta}H(E_tU_{t+\delta}). \end{align}$

U_{t}

$U_t$

따라서 우리는

\begin{aligned} H (Φ) C_{t}^{1 - θ} = C_{t}^{1 - θ} + \frac{1}{1 + ρ δ} H (Φ) {(E_{t} [C_{t + δ}^{1 - γ}])}^{\frac{1 - θ}{1 - γ}} . \end{aligned}

$\begin{align} H(\Phi)C_t^{1-\theta}= C_t^{1-\theta}+\frac{1}{1+\rho\delta}H(\Phi)\left(E_t\left[C_{t+\delta}^{1-\gamma}\right]\right)^\frac{1-\theta}{1-\gamma}. \end{align}$

C_{t} \neq 0

$C_t\neq 0$

\begin{aligned} \frac{1}{H (Φ)} = 1 - \frac{1}{1 + ρ δ} {(E_{t} [{(\frac{C_{t + δ}}{C_{t}})}^{1 - γ}])}^{\frac{1 - θ}{1 - γ}} . \end{aligned}

$\begin{align} \frac{1}{H(\Phi)}= 1-\frac{1}{1+\rho\delta}\left(E_t\left[\left(\frac{C_{t+\delta}}{C_t}\right)^{1-\gamma}\right]\right)^\frac{1-\theta}{1-\gamma}. \end{align}$

$E_t\left[\left(\frac{C_{t+\delta}}{C_t}\right)^{1-\gamma}\right]$

\begin{aligned} {(\frac{Y_{t + δ}}{Y_{t}})}^{1 - γ} = \exp ((1 - γ) g δ) . \exp ((1 - γ) u_{t + δ}) . \exp ((1 - γ) v_{t + δ}) . \end{aligned}

$\begin{align} \left(\frac{Y_{t+\delta}}{Y_t}\right)^{1-\gamma}= \exp\left((1-\gamma)g\delta\right).\exp\left((1-\gamma)u_{t+\delta}\right).\exp\left((1-\gamma)v_ {t+\delta}\right). \end{align}$

u_{t + 1}

$u_{t+1}$

v_{t + 1}

$v_{t+1}$

\begin{aligned} E_{t} {(\frac{Y_{t + δ}}{Y_{t}})}^{1 - γ} = \exp ((1 - γ) g δ) . E_{t} \exp ((1 - γ) u_{t + δ}) . E_{t} \exp ((1 - γ) v_{t + δ}) . \end{aligned}

$\begin{align} E_t\left(\frac{Y_{t+\delta}}{Y_t}\right)^{1-\gamma}= \exp\left((1-\gamma)g\delta\right).E_t\exp\left((1-\gamma)u_{t+\delta}\right).E_t\exp\left((1-\gamma)v_ {t+\delta}\right). \end{align}$

\exp (X)

$\exp(X)$

X

$X$

N (0, σ^{2})

$\mathcal{N}(0,\sigma^2)$

\exp (σ^{2} / 2)

$\exp(\sigma^2/2)$

\exp ((1 - γ) v_{t + δ})

$\exp\left((1-\gamma)v_ {t+\delta}\right)$

1

$1$

1 - p δ

$1-p\delta$

(1 - b)^{1 - γ}

$(1-b)^{1-\gamma}$

p δ

$p\delta$

\begin{aligned} E_{t} {(\frac{Y_{t + δ}}{Y_{t}})}^{1 - γ} = \exp ((1 - γ) g δ) . \exp (\frac{(1 - γ)^{2} σ^{2} δ}{2}) . (1 - p δ + p E [(1 - b)^{1 - γ}] δ) . \end{aligned}

$\begin{align} E_t\left(\frac{Y_{t+\delta}}{Y_t}\right)^{1-\gamma}= \exp\left((1-\gamma)g\delta\right).\exp\left(\frac{(1-\gamma)^2\sigma^2\delta}{2}\right).\left(1-p\delta+pE[(1-b)^{1-\gamma}]\delta\right). \end{align}$

C_{t} = Y_{t}

$C_t=Y_t$

Φ

$\Phi$

\begin{aligned} \frac{1}{H (Φ)} & = 1 - \frac{1}{1 + ρ δ} {\exp ((1 - θ) g δ) . \exp (\frac{(1 - γ) (1 - θ) σ^{2} δ}{2}) \\ . {(1 - p δ + p E [(1 - b)^{1 - γ}] δ)}^{\frac{1 - θ}{1 - γ}}} . \end{aligned}

$\begin{align} \frac{1}{H(\Phi)}&= 1-\frac{1}{1+\rho\delta}\left\lbrace\exp\left((1-\theta)g\delta\right).\exp\left(\frac{(1-\gamma)(1-\theta)\sigma^2\delta}{2}\right)\right.\\ &\left. .\left(1-p\delta+pE[(1-b)^{1-\gamma}]\delta\right)^\frac{1-\theta}{1-\gamma}\right\rbrace. \end{align}$

3) 근사치 취하십시오. $\delta\to 0$

\begin{aligned} \frac{1}{H (Φ)} & = 1 - (1 - ρ δ) . (1 + (1 - θ) g δ) . (1 + \frac{(1 - γ) (1 - θ) σ^{2} δ}{2}) \\ . (1 - \frac{1 - θ}{1 - γ} p δ + \frac{1 - θ}{1 - γ} p E [(1 - b)^{1 - γ}] δ) . \end{aligned}

$\begin{align} \frac{1}{H(\Phi)}&= 1-(1-\rho\delta). \left(1+(1-\theta)g\delta\right).\left(1+\frac{(1-\gamma)(1-\theta)\sigma^2\delta}{2}\right)\\ & .\left(1-\frac{1-\theta}{1-\gamma}p\delta+\frac{1-\theta}{1-\gamma}pE[(1-b)^{1-\gamma}]\delta\right). \end{align}$

δ^{i}

$\delta^i$

i > 1

$i>1$

\begin{aligned} \frac{1}{H (Φ)} & = ρ δ - (1 - θ) g δ - \frac{(1 - γ) (1 - θ) σ^{2} δ}{2} \\ + \frac{1 - θ}{1 - γ} p δ - \frac{1 - θ}{1 - γ} p E [(1 - b)^{1 - γ}] δ . \end{aligned}

$\begin{align} \frac{1}{H(\Phi)}&= \rho\delta -(1-\theta)g\delta-\frac{(1-\gamma)(1-\theta)\sigma^2\delta}{2}\\ & +\frac{1-\theta}{1-\gamma}p\delta-\frac{1-\theta}{1-\gamma}pE[(1-b)^{1-\gamma}]\delta. \end{align}$

g

$g$

g^{*} = g + \frac{σ^{2}}{2} - p E b

$g^*=g+\frac{\sigma^2}{2}-pEb$

\begin{aligned} \frac{1}{H (Φ)} & = ρ δ - (1 - θ) g^{*} δ + (1 - θ) \frac{σ^{2}}{2} δ - (1 - θ) p E b δ - \frac{(1 - γ) (1 - θ) σ^{2} δ}{2} \\ + \frac{1 - θ}{1 - γ} p δ - \frac{1 - θ}{1 - γ} p E [(1 - b)^{1 - γ}] δ . \end{aligned}

$\begin{align} \frac{1}{H(\Phi)}&= \rho\delta -(1-\theta)g^*\delta+(1-\theta)\frac{\sigma^2}{2}\delta -(1-\theta)pEb\delta -\frac{(1-\gamma)(1-\theta)\sigma^2\delta}{2}\\ & +\frac{1-\theta}{1-\gamma}p\delta-\frac{1-\theta}{1-\gamma}pE[(1-b)^{1-\gamma}]\delta. \end{align}$

δ = 1

$\delta=1$

H

$H$

— GuiWil
소스

AER의 Barro (2009) 희귀 재해 모델 : 방정식 (10)을 도출하는 방법은 무엇입니까?

모델을 다시 작성

1) E t [ ( C t + δ 의 함수로 를 구합니다.ΦΦ\PhiEt[(Ct+δCt)1−γ]Et[(Ct+δCt)1−γ]E_t\left[\left(\frac{C_{t+\delta}}{C_t}\right)^{1-\gamma}\right]

Et[(Ct+δCt)1−γ]Et[(Ct+δCt)1−γ]E_t\left[\left(\frac{C_{t+\delta}}{C_t}\right)^{1-\gamma}\right]

3) 근사치 취하십시오.δ→0δ→0\delta\to 0

1) 의 함수로 를 $\Phi$ $E_t\left[\left(\frac{C_{t+\delta}}{C_t}\right)^{1-\gamma}\right]$

$E_t\left[\left(\frac{C_{t+\delta}}{C_t}\right)^{1-\gamma}\right]$

3) 근사치 취하십시오. $\delta\to 0$