유틸리티 기능의 존재 입증

Jehle and Reny의 Advanced Microeconomic Theory에는 유틸리티 기능의 존재를 나타내는 정리에 대한 증거가 있습니다.

유틸리티 함수의 존재를 증명하기 위해 진 관계를 나타내는 ⪰ 가 완전 이적, 연속, 엄격하게 단조 경우를, 매핑을 고려하는 것이 좋습니다$u(\mathbf{x})$$\succeq$

되도록 U ( X ) E ~ X가 여기서 만족 X가 번들되어 유 ( X ) 몇개이고$u: \mathbb{R_+^n} \to \mathbb{R}$$u(\mathbf{x})e\sim \mathbf{x}$$\mathbf{x}$$u(\mathbf{x})$ 각 좋은 하나를 포함하는 묶음이다.$\mathbf{e}$

그래서 먼저 우리는 항상 같은 번호가 존재한다는 것을 보여줄 필요가 $u(\mathbf{x})$ . 이렇게하려면 두 세트를 고려하십시오.

$A \equiv \{t \geq 0 \mid t\mathbf{e} \succeq \mathbf{x}\}$

$B \equiv \{t \geq 0 \mid t\mathbf{e} \preceq \mathbf{x}\}$

경우 , 다음 t의 *의 전자는 ~ X , 그래서 우리는 것을 보여줄 필요가 ∩의 B가 비어 있지 않은 것입니다.$t^* \in A \cap B$$t^*\mathbf{e} \sim \mathbf{x}$$A \cap B$

의 연속성은 A와 B가 모두 R + 로 닫혀 있음을 의미합니다 . 엄격한 단순성으로 t ∈ A는 의미 t ' ∈ , ∀의 t ' ≥의 t을 . 따라서 A = [ t _ , ∞ ) 입니다. 마찬가지로 B = [ 0 , ¯ t$\succeq$$\mathbb{R_+}$$t \in A$$t' \in A,$ $\forall$ $t'\geq t$$A=[\underline{t}, \infty)$$B=[0, \overline{t}]$

임의의 경우 의 완전성 ⪰는 것을 의미 하나 t의 E ⪰ X 또는 t E ⪯ X , 즉 t ∈ ∪ $t \geq 0$$\succeq$$t\mathbf{e} \succeq \mathbf{x}$$t\mathbf{e} \preceq \mathbf{x}$$t \in A \cup B$

.$\mathbb{R_+} = A \cup B = [0, \overline{t}] \cup [\underline{t}, \infty)$

따라서 가 비어 있지 않게하려면 t _ ≤ ¯ t 이어야합니다 .$A \cap B$$\underline{t} \leq \overline{t}$

그러나 항상 이런 식입니까? 왜 마지막 불평등이 항상 개최되어야하는지 알 수 없습니다.

Το 답변되지 않은 대기열에서 이것을 가져 가십시오.

$t$

$B=[0, \overline{t}],\;\; A=[\underline{t}, \infty)$

$\overline{t} < \underline{t}$$(\overline{t},\underline{t})$$A$$B$$A \cup B \neq \mathbb{R_+}$

$\overline{t} \geq \underline{t}$$A \cap B$$\overline{t} = \underline{t}$