기대 항으로 오일러 방정식의 로그 선형화

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로그 선형화에 도움이되는 몇 가지 온라인 리소스가 있습니다 (예 : here 또는 here ). 그러나 기대 값이 포함 된 로그 선형화는 로그가 단순히 기대 연산자를 "통과"할 수 없기 때문에 약간 까다 롭습니다. 이 예제에서 누군가 대수를 도울 수 있습니까?

오일러 방정식이 있습니다 (식 1) 여기서 입니다. 나는 무위험 금리와 주식 프리미엄에 대한 표현을 도출하려고 노력하고 있습니다. 어떻게해야합니까?

1 = E_{t} [{δ {(\frac{C_{t + 1}}{C_{t}})}^{- 1 / ψ}}^{θ} {\frac{1}{1 + R_{m, t + 1}}}^{1 - θ} 1 + R_{i, t + 1}]

$1 = E_t \left [ \left \{ \delta \left (\frac{C_{t+1}}{C_t} \right )^{-1/\psi} \right \}^\theta \left \{ \frac{1}{1 + R_{m,t+1}} \right \}^{1 - \theta} 1 + R_{i, t+1} \right ]$

θ = (1 - γ) / (1 - 1 / ψ)

$\theta = ( 1 -\gamma)/(1 - 1/\psi)$

위의 두 번째 링크에서 과 같이 관심있는 변수를 바꾸는 것으로 시작해야합니다 . 그런 다음 주어진 단계에 따라 (수식 2)에 도착해야합니다. $C_t = c e^{\tilde C_t}$

\begin{aligned} 1 = {이자형}_{티} [{δ {(\frac{{\tilde{씨}}_{티 + 1} + 1}{{\tilde{씨}}_{티} + 1})}^{- 1 / ψ}}^{θ} {\frac{1}{(1 + {아르 자형}_{미디엄}) [\tilde{(1 + {아르 자형}_{미디엄, 티 + 1})} + 1]}}^{1 - θ} \cdot \cdot [(1 + {아르 자형}_{나는}) [\tilde{(1 + {아르 자형}_{나는, 티 + 1})} + 1]]] . \end{aligned}

$\begin{align} 1 = E_t \left [ \left \{ \delta \left (\frac{\tilde C_{t+1} + 1}{\tilde C_t + 1} \right )^{-1/\psi} \right \}^\theta {} \left \{ \frac{1}{(1 + R_m)[\widetilde{(1 + R_{m,t+1})} + 1]} \right \}^{1 - \theta} \cdot \\ \cdot [(1 + R_i)[\widetilde{(1 + R_{i, t+1})} + 1]] \right ]. \end{align}$

하지만 여기서 어디로 가야합니까?

편집하다:

내가 가진 노트에서 방정식 1을 직접 복사했습니다. 오른쪽의 용어 인 이 괄호 안에 있어야합니다 . 로그 선형화에 대한 초기 시도에서 나는 이것을 이런 식으로 취급했습니다. $1 + R_{i,t+1}$ $(1 + R_{i,t+1})$
방정식 2에서, 나는 처음에 두 번째 링크에서 찾을 수있는 명령의 단계를 따랐습니다. 따라서 시간 첨자가없는 및 은 정상 상태의 이러한 값입니다. $R_i$ $R_m$
$R_m$ 은 시장 포트폴리오 에 대한 수익 이고 는 자산 에 대한 수익입니다 . $R_i$ $i$

편집 2 :

유용한 의견에 감사드립니다. 그래서 지금까지 수집 한 것에서 다음과 같은 것을 얻어야합니다.

\begin{aligned} 1 & = E_{t} [δ^{θ} (1 - \frac{θ}{ψ} ({\tilde{C}}_{t + 1} - {\tilde{C}}_{t}) (1 + R_{m})^{θ - 1} (θ - 1) (1 + {\tilde{R}}_{m, t} \frac{R_{m}}{1 + R_{m}}) \\ \cdot (1 + R_{i}) ((1 + {\tilde{R}}_{i, t} \frac{R_{i}}{1 + R_{i}})] \end{aligned}

$\begin{align} 1 &= E_t \left [ \delta^\theta (1 - \frac \theta \psi (\tilde C_{t+1} - \tilde C_t ) (1 + R_m)^{\theta - 1} (\theta - 1) \left ( 1 + \tilde R_{m,t} \frac{R_m}{1 + R_m} \right ) \right .\\ & \left . \, \cdot (1 + R_i) \left ( (1 + \tilde R_{i,t} \frac{ R_i}{1 + R_i} \right ) \right ] \end{align}$

그러면 무위험 비율이 다음과 같이 나타납니다.

\begin{aligned} 1 & = E_{t} [δ^{θ} (1 - \frac{θ}{ψ} ({\tilde{C}}_{t + 1} - {\tilde{C}}_{t}) (1 + R_{m})^{θ - 1} (θ - 1) (1 + {\tilde{R}}_{m, 티} \frac{R_{미디엄}}{1 + {아르 자형}_{미디엄}}) (1 + {아르 자형}_{에프})] \\ 1 & = {이자형}_{티} [{미디엄}_{티 + 1} (1 + {아르 자형}_{에프})] \\ \frac{1}{{이자형}_{티} [{미디엄}_{티 + 1}]} & = 1 + {아르 자형}_{에프} . \end{aligned}

$\begin{align} 1 &= E_t \left [ \delta^\theta (1 - \frac \theta \psi (\tilde C_{t+1} - \tilde C_t ) (1 + R_m)^{\theta - 1} (\theta - 1) \left ( 1 + \tilde R_{m,t} \frac{R_m}{1 + R_m} \right ) (1 + R_f) \right ] \\ 1 &= E_t[ m_{t+1} (1 + R_f)] \\ \frac{1}{E_t[m_{t+1}]} &= 1 + R_f. \end{align}$

이 올바른지? 그리고 지금, 질문을 끝내기 위해 어떻게 주식 프리미엄을 찾을 수 있습니까?

macroeconomics asset-pricing

— 에탄 1410
소스

임은 달리지 만 갈리의 책에 접근 할 수 있습니까? 나는 그가 그것을 광범위하게한다고 생각한다, iirc

— FooBar

아닙니다. 그의 통화 정책 책에 들어 있을까요? "통화 정책, 인플레이션 및 비즈니스 사이클?"

— ethan1410

마지막으로 제공 한 동등성 (위험없는 비율보다 1이 sdf의 기대 값과 동일)은 항상 사실이므로 좋은 신호입니다. 주식 프리미엄을 찾으려면 시장에 대한 의 가치 인 의 가격을 찾은 다음 무위험 수익률을 빼십시오. 1.

E_{t} [m_{t + 1} (1 + R_{m})]

$E_t[m_{t+1}(1+R_m)]$

— jayk

4

예상 값이 존재하는 순간을 무시합시다. 이것이 결정론적인 설정이라면, 로그를 통한 선형화는 간단 할 것이며 OP가 제공 한 링크의 트릭이 없을 것입니다. 우리가 얻는 첫 번째 방정식의 양변에 자연 로그를 취하면 :

\begin{matrix} (1) & 0 = θ \ln δ - \frac{θ}{ψ} \ln (\frac{C_{t + 1}}{C_{t}}) - (1 - θ) \ln (1 + R_{m, t + 1}) + \ln (1 + R_{i, t + 1}) \end{matrix}

$0 = \theta \ln \delta-\frac {\theta}{\psi}\ln \left (\frac{C_{t+1}}{C_t} \right )-(1-\theta) \ln(1 + R_{m,t+1}) + \ln (1 + R_{i, t+1}) \tag{1}$

세트

\begin{matrix} (2) & {\hat{c}}_{t + 1} = \frac{C_{t + 1} - C_{t}}{C_{t}} \Rightarrow \frac{C_{t + 1}}{C_{t}} = 1 + {\hat{c}}_{t + 1} \end{matrix}

$\hat c_{t+1} = \frac{C_{t+1}-C_t}{C_t} \Rightarrow \frac{C_{t+1}}{C_t} = 1+\hat c_{t+1} \tag{2}$

또한 대해 적어도 를 쓰는 것은 대략적인 표준 입니다. 일반적으로 이것은 성장률과 재정 률의 경우에 해당하므로 $\ln (1+a) \approx a$ $|a|<0.1$

\begin{matrix} (3) & 0 = θ \ln δ - \frac{θ}{ψ} {\hat{c}}_{t + 1} - (1 - θ) R_{m, t + 1} + R_{i, t + 1} \end{matrix}

$0 = \theta \ln \delta-\frac {\theta}{\psi}\hat c_{t+1} -(1-\theta) R_{m,t+1} + R_{i, t+1} \tag{3}$

세 가지 변수를 연결하는 명확한 동적 관계입니다. 모델에서 정상 상태가 일정한 소비와 일정한 수익을 특징으로한다면, 우리는 되고 정상 상태 관계는 $\hat c_{t+1} =0$

\begin{matrix} (4) & {아르 자형}_{나는} = - θ \ln δ + (1 - θ) {아르 자형}_{미디엄} \end{matrix}

$R_{i} = - \theta \ln \delta + (1-\theta) R_{m} \tag{4}$

그러나 우리는 기대 값을 무시하고이 모든 것을했습니다. 우리 식이다 , 그냥 . 의 1 차 Taylor 확장을 입력하십시오 . 확장 센터가 필요합니다. 네 개의 변수를 간단히 나타냅니다 ( 인덱스가 있는 변수가 있다는 것은 아프지 않습니다 ). 주위에서 함수를 확장하기로 선택합니다 . 그래서 $E_t\left[f\left(C_t, C_{t+1},R_{m,t+1},R_{i,t+1} \right)\right]$ $f\left(C_t, C_{t+1},R_{m,t+1},R_{i,t+1} \right)$ $f()$ $\mathbf z_{t+1}$ $t$ $\mathbf z_{t+1}$ $E_t(\mathbf z_{t+1})$

\begin{matrix} (5) & 에프 (지_{티 + 1}) \approx 에프 ({이자형}_{티} [지_{티 + 1}]) + \nabla 에프 ({이자형}_{티} [지_{티 + 1}]) \cdot (지_{티 + 1} - {이자형}_{티} [지_{티 + 1}]) \end{matrix}

$f\left(\mathbf z_{t+1}\right) \approx f\left(E_t[\mathbf z_{t+1}]\right) + \nabla f\left(E_t[\mathbf z_{t+1}]\right)\cdot \big(\mathbf z_{t+1}-E_t[\mathbf z_{t+1}]\big) \tag{5}$

그때

\begin{matrix} (6) & {이자형}_{티} [에프 (지_{티 + 1})] \approx 에프 ({이자형}_{티} [지_{티 + 1}]) \end{matrix}

$E_t\left[f\left(\mathbf z_{t+1}\right)\right] \approx f\left(E_t[\mathbf z_{t+1}]\right) \tag{6}$

분명히 이것은 Jensen의 불평등으로 인한 경우에도 근사치입니다. 즉 오류가 있습니다. 그러나 표준 관행입니다. 그런 다음 결정적 버전에서 수행 한 모든 이전 작업이 변수 대신 조건부 예상 값을 삽입하는 확률 적 버전에 적용될 수 있음을 알 수 있습니다. 따라서 eq. 이 쓰여있다 $(3)$

\begin{matrix} (7) & 0 = θ \ln δ - \frac{θ}{ψ} {이자형}_{티} [{\hat{씨}}_{티 + 1}] - (1 - θ) {이자형}_{티} [{아르 자형}_{미디엄, 티 + 1}] + {이자형}_{티} [{아르 자형}_{나는, 티 + 1}] \end{matrix}

$0 = \theta \ln \delta-\frac {\theta}{\psi}E_t[\hat c_{t+1}] -(1-\theta) E_t[R_{m,t+1}] + E_t[R_{i, t+1}] \tag{7}$

그러나 정상 상태 값은 어디에 있습니까? 확률 론적 상황에서 정상 상태 값은 약간 까다 롭습니다. 우리 변수 (현재 임의 변수로 취급 됨)가 상수 가된다고 주장하고 있습니까? 또는 확률 론적 상황에서 정상 상태를 정의하는 다른 방법이 있습니까?

여러 가지 방법이 있습니다. 그중 하나는 "완벽한 예측 정상 상태"입니다. 여기서 우리는 불필요하게 일정하지 않은 값을 완벽하게 예측합니다 (이것은 "충족 된 기대치로서의 평형"의 개념입니다). 이것은 예를 들어 주석에 언급 된 Jordi Gali의 책 에서 사용됩니다 . "완벽한 예측 정상 상태"는 의해 정의됩니다.

\begin{matrix} (8) & {이자형}_{티} ({엑스}_{티 + 1}) = {엑스}_{티 + 1} \end{matrix}

$E_t(x_{t+1}) = x_{t+1} \tag{8}$

이 개념에서 eq. 은 방정식이됩니다. 현재 경제의 "완전한 예측 확률 론적 안정 상태"방정식이다. $(7)$ $(3)$

변수가 정상 상태에서 일정하게 유지된다고 말하는 더 강력한 조건을 원한다면 다시 예측이 완벽 할 것이라고 주장하는 것이 합리적입니다. 이 경우 확률 론적 경제의 정상 상태는 결정 론적 경제와 동일하다. . $(4)$

— 알레 코스 파파도풀로스
소스

@jmbejara 이것은 완벽 하다 . 함수의 잘린 1 차 Taylor 근사값의 예상 값입니다. 당신은 그것에 동의하지 않습니까? 그것이 최적 이 아닌 근사치 인지의 여부 는 또 다른 문제이며 근사치의 품질과 적정성을 판단하기 위해 어떤 기준을 사용하는지와 관련이 있습니다.

— Alecos Papadopoulos '12

확인. 당신은 요점이 있습니다. 그러나 당신이 말했듯이, 나는 상황에서 가장 좋은 것이 무엇인지 잘 모르겠습니다. 그러나 분명히 그것에 대해 다른 방법이있는 것 같습니다. 편견에 대해 분명히 말할 것이 있지만, 당신은 좋은 지적을합니다. 나는 투표하자마자 투표를 취소 할 것이다.

— jmbejara

3

정확한 근사는 입니다. 이것은 편향되지 않지만, 는 아닙니다. 이를 보려면 에 프로젝트를 작성하십시오 . 여기서 "bar"는 기대 연산자를 나타냅니다. 그런 다음, 대략적인 이 근사는 가 정규 분포 일 때 정확합니다 (Stein 's lemma에 의해). $f(x) \approx E[f(x)] + E[f'(x)] (x - E[x])$ $f(x) \approx E[f(x)] + f'(E[x]) (x - E[x])$ $f(x) - \overline{f(x)}$ $x - \bar x$

\frac{코브 (에프 (엑스), 엑스)}{Var (x)} \approx 이자형 [{에프}^{'} (엑스)] .

$\frac{\text{Cov}(f(x), x)}{\text{Var(x)}} \approx E[f'(x)].$

x

$x$

편집하다:

설명을 위해 에 를 투영 하면 , 여기서 및 . 위에서 설명한대로 Stein의 보조 법을 사용하여 를 추정 하면 편향되지 않은 반면에, $f(x) - \overline{f(x)}$ $x - \bar x$ $f(x) - \overline{f(x)} = \beta (x - \bar x) + \epsilon$ $E[\epsilon] = E[\epsilon x] = 0$ $\beta = \frac{\text{Cov}(f(x), x)}{\text{Var(x)}}$ $\beta$

에프 (엑스) \approx 이자형 [에프 (엑스)] + 이자형 [{에프}^{'} (엑스)] (엑스 - \bar{엑스}) + ϵ,

$f(x) \approx E[f(x)] + E[f'(x)] (x - \bar x) + \epsilon,$

이자형 [ϵ] = 0.

$E[\epsilon] = 0.$

이자형 [에프 (이자형 [엑스]) + {에프}^{'} (이자형 [엑스]) (엑스 - 이자형 [엑스])] = 에프 (이자형 [엑스]) \neq 이자형 [에프 (엑스)] .

$E[f(E[x]) + f'(E[X]) (x - E[x])] = f(E[x]) \neq E[f(x)].$

— 젬 베라
소스

근사값 의 자세한 도출을 답에 포함시킬 수 있다면 도움이 될 것입니다 .

f (x) \approx E [f (x)] + E [f^{'} (x)] (x - E [x])

$f(x) \approx E[f(x)] + E[f'(x)] (x - E[x])$

— Alecos Papadopoulos

답변을 개선해 주셔서 감사합니다. 질문에 가깝게 유지하기 위해 OP에는 함수 가 있으며 예상 값을 조작하려고합니다. 그래서 그는 당신이 대해 쓴 표현을 풀고 구해야합니다

f (x)

$f(x)$

E [f (x)]

$E[f(x)]$

이자형 [에프 (엑스)] \approx 에프 (엑스) - \frac{코브 (에프 (엑스), 엑스)}{바르 (엑스)} \cdot [엑스 - 이자형 (엑스)] ?

$E[f(x)] \approx f(x) - \frac {\text{Cov}(f(x),x)}{\text{Var}(x)}\cdot [x-E(x)]?$

— Alecos Papadopoulos

3

문제는 재귀 (Epstein-Zin) 환경 설정을 사용하는 자산 가격 방정식과 같습니다. 자산 가격에 관심이있을 때 일반적인 "거시 경제적"선형화에주의해야합니다. 이러한 근사값은 확실성이며 선형화 된 솔루션의 계수는 충격의 크기에 의존하지 않습니다. 또한 선형화 된 솔루션의 모든 변수는 결정적인 정상 상태에서 변동합니다. 결과적으로, 위험 프리미 아는 0이며, 그 점을 무시합니다.

한 가지 해결책은 고차 동요 방법 (일정 위험 예비 미아를 얻기 위해 2 차, 시변 예비 미아를 위해 3 차)을 사용하는 것입니다. 모델을 수치 적으로 해결하려는 경우 기존 소프트웨어 (예 : Dynare)로 쉽게 수행 할 수 있습니다 (이 경우 수동으로 선형화 할 필요도 없음). 대신 분석 (대략) 솔루션이 선호되는 경우, 일반적인 방법은 수량의 역학 (예 : 소비 증가)을 선형화 한 다음 Banler & Yaron (2004) 에서와 같이 로그 정규성 가정을 사용하여 기대치를 계산하여 오일러 방정식에서 직접 자산 가격을 얻는 것 입니다.

예를 들어, 소문자 변수가 로그인 경우 일반적인 오일러 방정식을 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.

1 = {이자형}_{티} [특급 ({미디엄}_{티 + 1} + {아르 자형}_{티 + 1})]

$1 = E_t [\exp(m_{t+1} + r_{t+1})]$

만약 이다은 (조건부) 공동 보통, 위에서 암시 $m_{t+1},r_{t+1}$

\begin{matrix} (1) & 0 = {이자형}_{티} [{미디엄}_{티 + 1}] + {이자형}_{티} [{아르 자형}_{티 + 1}] + \frac{1}{2} {V ㅏ {아르 자형}_{티} [{미디엄}_{티 + 1}] + V ㅏ {아르 자형}_{티} [{아르 자형}_{티 + 1}] + 2 씨 영형 V_{티} [{미디엄}_{티 + 1}, {아르 자형}_{티 + 1}]} \end{matrix}

$0 = E_t[m_{t+1}] + E_t[r_{t+1}] + \frac{1}{2} \left\{ Var_t[m_{t+1}] + Var_t[r_{t+1}] + 2 Cov_t[m_{t+1},r_{t+1}] \right\} \tag{1}$

무위험 비율은 충족해야합니다 . 또는 $\exp(-r^f_t) = E_t[\exp(m_{t+1})]$

{아르 자형}_{티}^{에프} = - {이자형}_{티} [{미디엄}_{티 + 1}] - \frac{1}{2} V ㅏ {아르 자형}_{티} [{미디엄}_{티 + 1}]

$r^f_t = -E_t[m_{t+1}] - \frac{1}{2} Var_t[m_{t+1}]$

따라서 우리는

{이자형}_{티} [{아르 자형}_{티 + 1}] - {아르 자형}_{티}^{에프} + \frac{1}{2} V ㅏ {아르 자형}_{티} [{아르 자형}_{티 + 1}] = 씨 영형 V_{티} [{미디엄}_{티 + 1}, {아르 자형}_{티 + 1}]

$E_t[r_{t+1}] - r^f_t + \frac{1}{2}Var_t[r_{t+1}] = Cov_t[m_{t+1},r_{t+1}]$

실제로 자산 가격을 계산하려면

log-SDF를 일부 상태 변수 및 충격의 선형 함수로 표현합니다 (예 : CRRA 사례에서 로그 소비 증가).
로그 배당-가격 비율 (Campbell-Shiller 근사)에 따라 수익을 선형화하고 (1)로 대체하십시오.
상태 변수에서 로그 D / P 비율을 선형으로 표현한 다음, 결정되지 않은 계수 방법을 사용하여 (1)을 만족하는 해를 구하십시오.

실제로는 조금 더 복잡합니다 (특히 EZ 환경 설정의 경우 SDF에 진입하는 시장 수익을 유도하고 다른 수익에 대해서는 두 번째 접근 방식을 사용해야하는 경우). 자세한 내용은 연결된 Bansal & Yaron에서 찾을 수 있습니다 종이.

— 이반 스 ml
소스

1

바로 그거죠. 이 스레드의 혼란은 자산 가격 책정에 대한 오일러 방정식의 1 차 근사치에 위험 프리미엄이 없다는 사실에서 비롯된 것 같습니다. (물론 SDF와 반품 사이의 공분산은 본질적으로 2 차입니다.) 이것을 정리해 주셔서 감사합니다.

— 공칭 강성